\(\left(x^2+y\right)\left(x+y^2\right)=\left(x+y\right)^3\)

\(\Leftrightarrow x^3+x^2y^2+xy+y^3=x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)\)

\(\Leftrightarrow xy\left(xy+1\right)=3xy\left(x+y\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}xy=0\\xy+1=3\left(x+y\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\y=0\\xy-3x-3y+1=0\end{matrix}\right.\)

 TH1: \(x=0\) thì thay vào pt đề bài, suy ra điều luôn đúng với mọi số nguyên \(x\). Hơn nữa do vai trò \(x,y\) như nhau nên tương tự với trường hợp \(y=0\) 

 TH2: \(xy-3x-3y+1=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(y-3\right)-3\left(y-3\right)=8\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(y-3\right)=8\)

Từ đó ta có bảng:

Như vậy trong trường hợp này, ta tìm ra được các nghiệm \(\left(4;11\right);\left(11;4\right);\left(5;7\right);\left(7;5\right);\left(2;-5\right);\left(-5;2\right);\left(1;-1\right);\left(-1;1\right)\)

Tóm lại, ta tìm được các nghiệm nguyên sau của pt đã cho:

\(\left(4;11\right);\left(11;4\right);\left(5;7\right);\left(7;5\right);\left(2;-5\right);\left(-5;2\right);\left(1;-1\right);\left(-1;1\right)\); \(\left(0;y\right),\forall y\inℤ\) và \(\left(x;0\right),\forall x\inℤ\)

- Với \(x< 0\Rightarrow2^x\notin Z\Rightarrow2^x+7\notin Z\) pt vô nghiệm

- Với \(x=0\) ko thỏa mãn

- Với \(x=1\Rightarrow y=\pm3\)

- Với \(x>1\Rightarrow2^x+7\) luôn lẻ \(\Rightarrow y^2\) lẻ \(\Rightarrow y\) lẻ \(\Rightarrow y=2k+1\)

\(\Rightarrow2^x+7=\left(2k+1\right)^2\)

\(\Rightarrow2^x+6=4k\left(k+1\right)\)

\(\Rightarrow4k\left(k+1\right)-2^x=6\)

Do \(x>1\Rightarrow2^x⋮4\Rightarrow4k\left(k+1\right)-2^x⋮4\) trong khi \(6⋮̸4\)

\(\Rightarrow\) Ko tồn tại x;k thỏa mãn

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(1;-3\right);\left(1;3\right)\)

\(4x^2=4y^6-4y^3\)

\(\Leftrightarrow4y^6-4y^3+1-4x^2=1\)

\(\Leftrightarrow\left(2y^3-1\right)^2-4x^2=1\)

\(\Leftrightarrow\left(2y^3-1-2x\right)\left(2y^3-1+2x\right)=1\)

\(PT\Leftrightarrow y\left(x^2-2x-1\right)=x^2+2x-1\).

Từ đó \(x^2-2x-1\vdots x^2+2x-1\)

\(\Leftrightarrow4x⋮x^2+2x-1\) (1)

\(\Rightarrow4\left(x^2+2x-1\right)-4x^2⋮x^2+2x-1\)

\(\Leftrightarrow8x-4⋮x^2+2x-1\) (2)

Từ (1), (2) suy ra \(8⋮x^2+2x-1\).

Đến đây bạn xét TH.

a)

\(\Leftrightarrow yz=z^2+2z+3\Leftrightarrow z\left(y-2-z\right)=3\)

\(\hept{\begin{cases}z=\left\{-3,-1,1,3\right\}\\y-2-z=\left\{-1,-3,3,1\right\}\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\left\{-2,0,2,4\right\}\\y=\left\{-2,-4,6,6\right\}\end{cases}}}\)

\(x^3+y^3=5+x^2y+xy^2\Rightarrow x^3+y^3-\left(x^2y+xy^2\right)=5\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)-xy\left(x+y\right)=5\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2=5\)

Vì \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)^2\ge0\\5>0\end{matrix}\right.\Rightarrow x+y>0\)

Lại có \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)^2\in N\\\left(x-y\right)^2< 5\end{matrix}\right.\) và \(\left(x-y\right)^2\) là số chính phương

\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2=1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=5\\x-y=1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=2\end{matrix}\right.\)

đặt 2 cái trong ngoặc kia là a và b, phân tích đa thức thành nhân tử ở VT

rồi chuyển sang cứ tạo thành hhằng đẳng thức rồi nhóm các nhân tử còn lại chia thành 2 nhóm và úc đó thay a,b theo x, y vào ,...

làm cho mk luôn đi bạn

dùng denta là xong ngay ấy bạn

(Đưa về phương trình bậc 2 ẩn yy, tham số xx)

Pt ⇔2y2+(3x−1)y+x2−2x−6=0⇔2y2+(3x−1)y+x2−2x−6=0

Δ=(3x−1)2−4.2(x2−2x−6)=x2+10x+49=(x+5)2+24>0∀xΔ=(3x−1)2−4.2(x2−2x−6)=x2+10x+49=(x+5)2+24>0∀x

Để phương trình đã cho có nghiệm nguyên thì Δ=(x+5)2+24Δ=(x+5)2+24 phải là một số chính phương.

Đặt (x+5)2+24=k2(k∈N∗)⇔(x+5)2−k2=−24⇔(x+5−k)(x+5+k)=−24=−12.2=−6.4=−4.6=−2.12(x+5)2+24=k2(k∈N∗)⇔(x+5)2−k2=−24⇔(x+5−k)(x+5+k)=−24=−12.2=−6.4=−4.6=−2.12(tích của 2 số nguyên có tổng chẵn, (số bé .số lớn)

Lập bảng xét giá trị ta được các giá trị của xx và yy:

x=−10→y=6tm;x=−10→y=6tm;

x=−6→y=6tm;x=−6→y=6tm;

x=−4→y=4,5ktm;x=−4→y=4,5ktm;

x=0→y=2tmx=0→y=2tm

Vậy...