Đáp án C

+phương trình ∆ đi qua M (8; 2) và vuông góc với d  là:

3 (x-8) +2(y-2) =0 hay 3x+2y -28= 0.

+ Gọi  H = d ∩ ∆ ⇒ H ( 6 ; 5 )

+ Khi đó H là trung điểm của đoạn MM’. Áp dụng công thức trung điểm ta suy ra

Vậy M’( 4;8) .

Bài 1:

a/ Tọa độ giả điểm d với các trục: \(A\left(4;0\right);B\left(0;3\right)\)

b/ Gọi d' là đường thẳng qua O và vuông góc d

\(\Rightarrow\) d' nhận \(\left(4;-3\right)\) là 1 vtpt

Phương trình d':

\(4\left(x-0\right)-3\left(y-0\right)=0\Leftrightarrow4x-3y=0\)

H là giao điểm d và d' nên tọa độ H là nghiệm:

\(\left\{{}\begin{matrix}3x+4y-12=0\\4x-3y=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow H\left(\frac{36}{25};\frac{48}{25}\right)\)

c/ Gọi \(d_1\) đối xứng d qua O \(\Rightarrow d_1//d\Rightarrow\) pt \(d_1\) có dạng: \(3x+4y+c=0\) với \(c\ne-12\)

Do hai đường thẳng đối xứng qua O

\(\Leftrightarrow d\left(O;d\right)=d\left(O;d_1\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left|3.0+4.0-12\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{\left|3.0+4.0+c\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}\)

\(\Rightarrow\left|c\right|=12\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=12\\c=-12\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

Phương trình \(d_1:3x+4y+12=0\)

Bài 2:

a/ Gọi d' là đường thẳng qua M và vuông góc d

\(\Rightarrow d'\) nhận \(\left(2;-1\right)\) là 1 vtpt

Phương trình d':

\(2\left(x-2\right)-1\left(y-5\right)=0\Leftrightarrow2x-y+1=0\)

H là giao điểm của d và d' nên tọa độ H là nghiệm:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+2y-2=0\\2x-y+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow H\left(0;1\right)\)

b/ M' đối xứng M qua d \(\Leftrightarrow H\) là trung điểm \(MM'\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_{M'}=2x_H-x_M\\y_{M'}=2y_H-y_M\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M'\left(-2;-3\right)\)

c/ d' đối xứng d qua M \(\Rightarrow\) phương trình d' có dạng: \(x+2y+c=0\) với \(c\ne-2\)

Ta có: \(d\left(M;d\right)=d\left(M;d'\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left|2+2.5-2\right|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{\left|2+2.5+c\right|}{\sqrt{1^2+2^2}}\)

\(\Rightarrow\left|c+12\right|=10\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=-2\left(l\right)\\c=-22\end{matrix}\right.\)

Phương trình d': \(x+2y-22=0\)

Bài 3:

Gọi M là giao điểm \(d_1;d_2\Rightarrow\) tọa độ M là nghiệm:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y-1=0\\x-3y+3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M\left(0;1\right)\)

Gọi \(A\left(1;0\right)\) là 1 điểm thuộc \(d_1\)

\(d_3\) đối xứng \(d_2\) qua \(d_1\Leftrightarrow d_1\) là phân giác góc tạo bởi \(d_2;d_3\)

\(\Rightarrow d_3\) qua M và \(d\left(A;d_3\right)=d\left(A;d_2\right)\)

Gọi pt \(d_3\) có dạng \(a\left(x-0\right)+b\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow ax+by-b=0\)

Theo công thức khoảng cách:

\(\frac{\left|a.1+b.0-b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{\left|1-3.0+3\right|}{\sqrt{1+3^2}}\Leftrightarrow\frac{\left|a-b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{5}}\)

\(\Leftrightarrow5\left(a-b\right)^2=8\left(a^2+b^2\right)=3a^2+10ab+3b^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+3b\right)\left(3a+b\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-3b\\b=-3a\end{matrix}\right.\)

Có 2 đường thẳng thỏa mãn:

\(\left[{}\begin{matrix}-3bx+by-b=0\\ax-3ay+3a=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x-y+1=0\\x-3y+3=0\end{matrix}\right.\)

Gọi d' là đường thẳng qua M và vuông góc d \(\Rightarrow\) d' nhận (4;-3) là 1 vtpt

Phương trình d':

\(4\left(x-2\right)-3\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow4x-3y-5=0\)

Gọi N là giao điểm của d và d' \(\Rightarrow\)tọa độ N thỏa mãn:

\(\left\{{}\begin{matrix}3x+4y+10=0\\4x-3y-5=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow N\left(-\dfrac{2}{5};-\dfrac{11}{5}\right)\)

M' là ảnh của M qua phép đối xứng trục d \(\Leftrightarrow\) N là trung điểm MM'

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_{M'}=2x_N-x_M=-\dfrac{14}{5}\\y_{M'}=2y_N-y_M=-\dfrac{27}{5}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow M'\left(-\dfrac{14}{5};-\dfrac{27}{5}\right)\)

Lời giải:
Gọi $M'(a,b)$ là ảnh của $M$ đối xứng qua $d$
$\overrightarrow{MM'}=(a-2,b-1)$

Vì $\overrightarrow{MM'}\perp \overrightarrow{u_d}$ nên:

$\frac{a-2}{2}=\frac{b-1}{1}\Leftrightarrow a-2=2(b-1)(1)$

$I$ là trung điểm $MM'$. $x_I=\frac{2+a}{2}; y_I=\frac{b+1}{2}$

$3.\frac{2+a}{2}+4.\frac{b+1}{2}+10=0$

$\Leftrightarrow 3a+4b+30=0(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow a=-6;b=-3$

Đáp án D

Gọi M′, d′ và (C') theo thứ tự là ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng qua trục Ox .

Khi đó M′ = (3;5) . Để tìm ta viết biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục:

Thay (1) vào phương trình của đường thẳng d ta được 3x′ − 2y′ − 6 = 0.

Từ đó suy ra phương trình của d' là 3x − 2y – 6 = 0

Thay (1) vào phương trình của (C) ta được x ' 2   +   y ' 2   −   2 x ′   +   4 y ′   −   4   =   0 .

Từ đó suy ra phương trình của (C') là x   −   1 2   +   y   −   2 2   =   9 .

Cũng có thể nhận xét (C) có tâm là I(1; −2), bán kính bằng 3,

từ đó suy ra tâm I' của (C') có tọa độ (1;2) và phương trình của (C') là x   −   1 2   +   y   −   2 2   =   9

a: (d): 2x-y+3=0

=>y=2x+3

Vì (d') vuông góc với (d) nên 2a=-1

=>a=-1/2

Vậy: (d'): y=-1/2x+b

Thay x=3 và y=1 vào (d'), ta được:

b-3/2=1

hay b=5/2

Vậy: (d'): y=-1/2x+5/2

b: Tọa độ giao điểm là:

\(\left\{{}\begin{matrix}2x+3=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}\\y=2x+3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{5}{2}x=-\dfrac{1}{2}\\y=2x+3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{1}{5}\\y=-\dfrac{2}{5}+3=\dfrac{13}{5}\end{matrix}\right.\)