\(a^2+b^2+c^2+d^2+1\ge a+b+c+d\)

\(< =>a^2+b^2+c^2+d^2+1-a-b-c-d\ge0\)

\(< =>\left(a^2-a+\frac{1}{4}\right)+\left(b^2-b+\frac{1}{4}\right)+\left(c^2-c+\frac{1}{4}\right)+\left(d^2-d+\frac{1}{4}\right)\ge0\)

\(< =>\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\left(c-\frac{1}{2}\right)^2+\left(d-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\left(1\right)\)

Dễ thấy \(\left(a-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\) với mọi a

  \(\left(b-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\) với mọi b

\(\left(c-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\) với mọi c

\(\left(d-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\) với mọi d

=>(1) đúng với mọi a,b,c,d

=>đpcm

Theo đề ta có:

a(b+c) - b(a+c) = b(a-c) - a(b-c)
a.b + a.c - b.a - b.c = b.a - b.c - a.b + a.c 
Rút gọn a.b và b.a ở vế 1; b.a và a.b ở vế 2 còn:
a.c - b.c = - b.c + a.c 
 a.c - b.c = a.c - b.c 
=> a(b+c) - b(a+c) = b(a-c) - a(b-c) 
 

Vế trái = ab +ac - ab - bc = ac - bc  (1)

Vế phải = ab - bc - ab +ac= ac-bc  (2)

Từ (1) và (2) suy ra VT=VP

a(b+c)-b(a+c)=b(a-c)-a(b-c)

(ab+ac)-(ab+bc)=(ab-bc)-(ab-ac)

ab+ac-ab-bc=ab-bc-ab+ac

ac-bc=-bc+ac

ac-bc=ac+(-bc)=ac-bc

ac-bc=ac-bc -> a(b+c)-b(a+c)=b(a-c)-a(b-c)

=> đpcm

~ HỌC TỐT ~

Bài 2:

Ta chứng minh \(\left|a+b\right|\le\left|a\right|+\left|b\right|\) (*) :

Bình phương 2 vế của (*) ta có:

\(\left(\left|a+b\right|\right)^2\le\left(\left|a\right|+\left|b\right|\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+2ab\le a^2+b^2+2\left|ab\right|\)

\(\Leftrightarrow ab\le\left|ab\right|\) (luôn đúng)

Áp dụng (*) vào bài toán ta có:

\(\left|a-c\right|\le\left|a-b+b-c\right|=\left|a-c\right|\) (luôn đúng)

-B=a-b+c

mà A=a-b+c

nên -B = A

nên A;B là số đối nhau

Ta có:

\(a\left(b+c\right)-b\left(a+c\right)=ab+ac-ba-bc=ac-bc\left(1\right)\)

\(b\left(a-c\right)-a\left(b-c\right)=ba-bc-ab+ac=-bc+ac=ac-bc\left(2\right)\)Từ (1) và (2)\(\Rightarrow a\left(b+c\right)-b\left(a+c\right)=\)\(b\left(a-c\right)-a\left(b-c\right)\left(dpcm\right)\)