a) Xét \(\Delta MHA\) và \(\Delta MHB\) có:

\(HA=HB\) (\(H\) thuộc trung trực của \(AB\))

\(\widehat{MHA}=\widehat{MHB}=90^0\)

MH cạnh chung nên \(\Delta MHA=\Delta MHB\) (c.g.c)

\(\Rightarrow\widehat{AMH}=\widehat{BMH}\)

Vậy \(MH\) là phân giác của \(\widehat{AMB}\)

b) Trên cạnh \(MB\) ta lấy \(E\) sao cho: \(MF=ME'\)

Xét \(\Delta FMP\) và \(\Delta E'MP\) có:

\(MF=ME'\)

\(\widehat{FMP}=\widehat{E'MP}\) (do \(\widehat{AMH}=\widehat{BMH}\))

\(MP\) cạnh chung nên \(\Delta FMP=\Delta E'MP\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{FMP}=\widehat{E'MP}\) (1)

Gọi giao điểm của \(FE'\) với \(MH\) là \(K\)

Lại có \(\Delta PHA=\Delta PHB\) (c.g.c) (chứng minh tương tự như câu a)

\(\Rightarrow\widehat{APH}=\widehat{BPH}\)

Mà \(\widehat{APH}=\widehat{EPM}\) (đối đỉnh) và \(\widehat{BPH}=\widehat{FPM}\) (đối đỉnh)

\(\Rightarrow\widehat{FPM}=\widehat{EPM}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{EPM}=\widehat{E'PM}\) hay \(E\) trùng với \(E'\)

Do đó \(MF=ME\) (3)

Lại có \(PF=PE'\) (do \(\Delta FMP=\Delta E'MP\))

Nên \(PF=PE\) (4) (do \(E'\) trùng với \(E\))

Từ (3) và (4) suy ra \(MH\) hay \(MP\) là trung trực của đoạn \(EF\)

c) Ta có: \(AF=AM-FM\)

\(BI=BM-EM\)

Mà \(AM=BM\) (\(M\) thuộc trung trực \(AB\))

\(FM=EM\) (cmt)

\(\Rightarrow AF=BE\)

a) * Vì tam giác ABC cân tại A nên đường cao đồng thời là đường trung tuyến  ( t/c ) 

=> AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC 

=> M là trung điểm của BC   => MB = MC = 1/2 BC

b)-Vì tam giác ABC cân nên góc B = góc C 

Vì MH vuông góc AB, MJ vuông góc AC nên \(\widehat{MHB}=90^o;\widehat{MKC}=90^o\)

Xét tam giác MHB và tam giác MKC có : 

góc MHB = góc MKC ( =90 độ ) 

MB = MC ( cm ở câu a ) 

góc B = góc C (cmt ) 

Suy ra : \(\Delta MHB=\Delta MKC\) ( cạnh huyền - góc nhọn )

=> MH = MK ( cặp cạnh tương ứng ) 

* Gọi I là giao điểm của AM và HK 

Vì tam giác MHB = tam giác MKC ( cmt ) 

=> BH = CK ( cặp canh t/ư) 

Mà AB = AC ( tam giác ABC cân tại A )

=> AB - BH = AC - CK 

=> AH = AK 

=> Tam giác AHK cân tại A ( d/h ) 

Vì tam giác ABC cân tại A nên đường cao đồng thời là đường phân giác 

=> AM là tia phân giác của góc BAC 

Hay AI là tia phân giác của góc BAC 

- Vì tam giác AHK cân nên phân giác đồng thời là đường cao, đường trung tuyến  (t/c) 

=> AI là đường cao đồng thời là trung tuyến của tam giác AHK 

=> AM vuông góc HK tại I  và I là trung điểm của HK 

=> AM là đường trung trực của HK ( d/h ) 

c ) * Vì MH vuông góc AB tại H, E thuộc MH nên AM vuông góc AB tại H

Mà H là trung điểm EM 

=> AB là đường trung trực EM 

=> AE = AM ( t/c ) 

Tương tự : AC là đường trung trực của MF 

=> AF = AM  (t/c) 

Suy ra : AE = AF ( = AM )

=> Tam giác AEF cân tại A ( d/h ) 

Câu d ) Bạn gọi O là giao điểm của EF với AM 

C/m : tam giác AEO = tam giá AFO 

=> EO = OF

Tiếp tục sử dụng tính chất đặc biệt của tam giác cân như mấy câu trên là ra !!

P/s: Mk k giỏi Hình như giải dài dòng, bn thông cảm nhé