Đặt \(x^2=t\left(t\ge0\right)\), phương trình trở thành:

\(t^2-2\left(m+1\right)t+2m+1=0\left(1\right)\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi phương trình \(\left(1\right)\) có hai nghiệm dương phân biệt

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=m^2>0\\t_1+t_2=2m+2>0\\t_1t_2=2m+1>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-\dfrac{1}{2}\\m\ne0\end{matrix}\right.\)

b) Đặt x 2  = t (t ≥ 0). Khi đó ta có phương trình: t 2  – mt – m – 1 = 0 (*)

Δ =  m 2  - 4(-m - 1) = m 2  + 4m + 4 = m + 2 2

Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm dương phân biệt

Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có hai nghiệm số dương khi

a)Thay m=-7 vào pt ta được: \(x^4+5x^2-14=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2=2\\x^2=-7\left(L\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\sqrt{2}\\x=-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy...

b) Đặt \(t=x^2\left(t\ge0\right)\)

=>Với mỗi t dương ta tìm được hai nghiệm x phân biệt

Pttt: \(t^2-\left(m+2\right)t+3m+7=0\) (*)

Để pt ban đầu có hai nghiệm pb <=> pt (*) có 1 nghiệm dương duy nhất hoặc có hai nghiệm phân biệt trái dấu

TH1:PT (*) có 1 nghiệm dương duy nhất

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta=0\\-\dfrac{b}{2a}>0\end{matrix}\right.\)  \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-8m-24=0\\\dfrac{m+2}{2}>0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m=4+2\sqrt{10}\\m=4-2\sqrt{10}\end{matrix}\right.\\m>-2\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow m=4+2\sqrt{10}\) (1)

TH2: Pt (*) có hai nghiệm phân biệt trái dấu

\(\Leftrightarrow ac< 0\) \(\Leftrightarrow3m+7< 0\) \(\Leftrightarrow m< -\dfrac{7}{3}\) (2)

Từ (1) (2) =>\(\left[{}\begin{matrix}m=4+2\sqrt{10}\\m< -\dfrac{7}{3}\end{matrix}\right.\)

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có nghiệm kép hoặc có 1 nghiệm dương và một nghiệm âm.

Phương trình (2) có một nghiệm số kép khi và chỉ khi Δ = 169 - 4m = 0

Phương trình (2) có một nghiệm số dương và một nghiệm số âm khi

Vậy với m = 169/4 hoặc m < 0 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.

\(x^4-1-mx^2+m=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)-m\left(x^2-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(x^2-m+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2=1\\x^2=m-1\end{matrix}\right.\)

Pt có 4 nghiệm pb \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>1\\m\ne2\end{matrix}\right.\)

Khi đó ta có: 

\(\left|x_1-x_2\right|=\left|1-\sqrt{m-1}\right|=1\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}1-\sqrt{m-1}=1\\1-\sqrt{m-1}=-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\left(loại\right)\\m=5\end{matrix}\right.\)

Vậy \(m_0=5\)