sai đề ofy. chuyển 1/b+1/a sang 1/b+1/d rồi tự làm nha con tó

\(\Leftrightarrow M=\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{ca}{b^2\left(c+â\right)}+\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}\)

áp dụng bđt cauchy ta có:

\(\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{b+c}{4bc}\ge\frac{1}{a}\);\(\frac{ca}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{c+a}{4ca}\ge\frac{1}{b}\);\(\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}+\frac{a+b}{4ab}\ge\frac{1}{c}\)

\(\Rightarrow M\ge\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{8abc}}=\frac{3}{2}\)

*** $a,b,c>0$ thôi chứ không lớn hơn $1$ bạn nhé. $a,b,c>1$ thì $abc>1$ mất rồi.

-----------------------

Vì $a, b, c>0$ thỏa mãn $abc=1$ nên tồn tại $x,y,z>0$ sao cho:

$(a,b,c)=(\frac{x^2}{yz}, \frac{y^2}{xz}, \frac{z^2}{xy})$
Khi đó, áp dụng BĐT Cauchy_Schwarz:
$P=\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2xz}+\frac{z^2}{z^2+2xy}$

$\geq \frac{(x+y+z)^2}{x^2+2yz+y^2+2xz+z^2+2xy}=\frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2}=1$

Vậy $P_{\min}=1$ khi $x=y=z\Leftrightarrow a=b=c=1$

Dự đoán dấu "=" và chọn điểm rơi phù hợp để áp dụng bất đẳng thức Trung bình cộng - Trung bình nhân

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(P=\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\)

\(=\frac{\left(\frac{1}{a}\right)^2}{a(b+c)}+\frac{\left(\frac{1}{b}\right)^2}{b(a+c)}+\frac{\left(\frac{1}{c}\right)^2}{c(a+b)}\)

\(\geq \frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)}=\frac{(ab+bc+ac)^2}{2(ab+bc+ac)}=\frac{ab+bc+ac}{2}\) (thay $1=abc$)

Mà theo BĐT AM-GM:

\(ab+bc+ac\geq 3\sqrt[3]{(abc)^2}=3\). Do đó:

\(P\geq \frac{ab+bc+ac}{2}\geq \frac{3}{2}\)

Vậy \(P_{\min}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Cách khác:

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{a(b+c)}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{a^3(b+c)}.\frac{a(b+c)}{4}}=\frac{1}{a}=\frac{abc}{a}=bc\)

Tương tự:

\(\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{b(a+c)}{4}\geq ac\)

\(\frac{1}{c^3(a+b)}+\frac{c(a+b)}{4}\geq ab\)

Cộng theo vế các BĐT trên ta có:

\(P+\frac{ab+bc+ac}{2}\geq ab+bc+ac\)

\(\Rightarrow P\geq \frac{ab+bc+ac}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{(abc)^2}}{2}=\frac{3}{2}\)

Vậy \(P_{\min}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số dương ta có:

\(C=\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{c}=8\sqrt{abc}=8\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=1\)

Còn không dùng AM-GM,để nghĩ đã

em moi hoc lop 6

bó tay.com

khó

Ai giúp e với