Ta có :

\(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)=\left(1+\frac{a+b+c}{a}\right)\left(1+\frac{a+b+c}{b}\right)\left(1+\frac{a+b+c}{c}\right)\)

\(=\left(\frac{2a+b+c}{a}\right)\left(\frac{2b+a+c}{b}\right)\left(\frac{2c+a+b}{c}\right)\)

\(=\left(\frac{a+b}{a}+\frac{a+c}{a}\right)\left(\frac{a+b}{b}+\frac{b+c}{b}\right)\left(\frac{a+c}{c}+\frac{b+c}{c}\right)\)

Áp dụng BĐT Cô-si,ta có :

\(\frac{a+b}{a}+\frac{a+c}{a}\ge2\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{a^2}}\)

\(\frac{a+b}{b}+\frac{b+c}{b}\ge2\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{b^2}}\)

\(\frac{a+c}{c}+\frac{b+c}{c}\ge2\sqrt{\frac{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{c^2}}\)

\(\Rightarrow\left(\frac{a+b}{a}+\frac{a+c}{a}\right)\left(\frac{a+b}{b}+\frac{b+c}{b}\right)\left(\frac{a+c}{c}+\frac{b+c}{c}\right)\ge8\sqrt{\frac{\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2}{a^2b^2c^2}}\)

\(\ge8\sqrt{\frac{\left[8\sqrt{a^2b^2c^2}\right]^2}{a^2b^2c^2}}=8\sqrt{64}=64\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = \(\frac{1}{3}\)

Sao tự nhiên lại lòi ra số c vậy?

xí câu 1:))

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)(1)

Đặt a = x + y - 2 => a > 0 ( vì x,y > 1 )

Khi đó \(\left(1\right)=\frac{\left(a+2\right)^2}{a}=\frac{a^2+4a+4}{a}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+4\ge2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}+4=8\)( AM-GM )

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra <=> a=2 => x=y=2

LG a

(1−a√a1−√a+√a).(1−√a1−a)2=1(1−aa1−a+a).(1−a1−a)2=1 với a≥0a≥0 và a≠1a≠1

Phương pháp giải:

+ Biến đối vế trái thành vế phải ta sẽ có điều cần chứng minh.

+ √A2=|A|A2=|A|. 

+ |A|=A|A|=A    nếu    A≥0A≥0,

    |A|=−A|A|=−A     nếu    A<0A<0.

+ Sử dụng các hằng đẳng thức:

         a2+2ab+b2=(a+b)2a2+2ab+b2=(a+b)2

         a2−b2=(a+b).(a−b)a2−b2=(a+b).(a−b).

         a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2).

Lời giải chi tiết:

Biến đổi vế trái để được vế phải.

Ta có: 

VT=(1−a√a1−√a+√a).(1−√a1−a)2VT=(1−aa1−a+a).(1−a1−a)2

       =(1−(√a)31−√a+√a).(1−√a(1−√a)(1+√a))2=(1−(a)31−a+a).(1−a(1−a)(1+a))2

       =((1−√a)(1+√a+(√a)2)1−√a+√a).(11+√a)2=((1−a)(1+a+(a)2)1−a+a).(11+a)2

       =[(1+√a+(√a)2)+√a].1(1+√a)2=[(1+a+(a)2)+a].1(1+a)2

       =[(1+2√a+(√a)2)].1(1+√a)2=[(1+2a+(a)2)].1(1+a)2

       =(1+√a)2.1(1+√a)2=1=VP=(1+a)2.1(1+a)2=1=VP.

LG b

a+bb2√a2b4a2+2ab+b2=|a|a+bb2a2b4a2+2ab+b2=|a| với a+b>0a+b>0 và b≠0b≠0

Phương pháp giải:

+ Biến đối vế trái thành vế phải ta sẽ có điều cần chứng minh.

+ √A2=|A|A2=|A|. 

+ |A|=A|A|=A    nếu    A≥0A≥0,

    |A|=−A|A|=−A     nếu    A<0A<0.

+ Sử dụng các hằng đẳng thức:

         a2+2ab+b2=(a+b)2a2+2ab+b2=(a+b)2

         a2−b2=(a+b).(a−b)a2−b2=(a+b).(a−b).

         a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

VT=a+bb2√a2b4a2+2ab+b2VT=a+bb2a2b4a2+2ab+b2

      =a+bb2√(ab2)2(a+b)2=a+bb2(ab2)2(a+b)2

     =a+bb2√(ab2)2√(a+b)2=a+bb2(ab2)2(a+b)2

     =a+bb2|ab2||a+b|=a+bb2|ab2||a+b|

     =a+bb2.|a|b2a+b=|a|=VP=a+bb2.|a|b2a+b=|a|=VP

Vì a+b>0⇒|a+b|=a+ba+b>0⇒|a+b|=a+b.

11+a)2 và làm tiếp.

a+bb2⋅|a|b2|a+b|; với $a+b>0$ và $b\ne 0$, sẽ rút gọn tiếp được kết quả.

a: Khi x=64 thì \(A=\dfrac{2}{8-2}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}\)

b: \(P=B:A\)

\(=\dfrac{3\sqrt{x}+\sqrt{x}-2-2\left(\sqrt{x}+2\right)}{x-4}:\dfrac{2}{\sqrt{x}-2}\)

\(=\dfrac{4\sqrt{x}-2-2\sqrt{x}-4}{x-4}\cdot\dfrac{\sqrt{x}-2}{2}\)

\(=\dfrac{2\sqrt{x}-6}{2\left(\sqrt{x}+2\right)}=\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+2}\)

c: P<0

=>căn x-3<0

=>0<=x<9

mà x nguyên và x<>4

nên \(x\in\left\{0;1;2;3;5;6;7;8\right\}\)

Bài 1 : Viết các đa thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hoặc lập phương của một hiệu

a,8x3+12x2y+6xy2+y38x3+12x2y+6xy2+y3

= (2x)³ + 3.(2x)².y + 3.2x.y² + y³

= ( 2x + y )³
b,x3+3x2+3x+1x3+3x2+3x+1

= x³ + 3.x².1 + 3.x.1² + 1³

=(x + 1)³

c, x3−3x2+2x−1x3−3x2+2x−1

= x³ - 3.x².1+ 3.x.1² - 1³

= (x - 1)³

d,27+27y2+9y4+y6

= 3³ + 3.3².y² + 3.3.y4 + (y²)³

= ( 3 + y² ) ³

1111x99