Áp dụng bất đẳng thức có: 

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{16}{a+a+b+c}=\frac{16}{2a+b+c}\)<=> \(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{16}{2a+b+c}\)

Tương tự: \(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{16}{a+2b+c}\) và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c}\ge\frac{16}{a+b+2c}\)

Cộng 2 vế với nhau ta được: 

\(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c}\ge\frac{16}{2a+b+c}+\frac{16}{a+2b+c}+\frac{16}{a+b+2c}\)

<=> \(\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}\ge16\left(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\right)\)

=> \(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Ta có 

\(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{a^2bc+ab^2c+abc^2}{a^2b^2c^2}=\frac{abc\left(a+b+c\right)}{a^2b^2c^2}=0\)

Ta lại có

\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)

Từ đó

\(\Rightarrow\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}\)

Giúp mình 

Không mất tính tổng quát giả sử \(a\ge b\ge c\). Khi đó, ta dễ dàng có được \(a^n\ge b^n\ge c^n\)và \(\frac{1}{b+c}\ge\frac{1}{c+a}\ge\frac{1}{a+b}\)

Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev, ta có: \(\frac{a^n}{b+c}+\frac{b^n}{c+a}+\frac{c^n}{a+b}\ge\frac{1}{3}\left(a^n+b^n+c^n\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\)

P/s: Đây là một bước nhỏ trong một cách chứng minh dạng tổng quát của bđt Nesbit

ủa trebyshev có dạng như vậy hả bạn 

bài này bn bình phương cả hai vế lên là xong mà

vô lí VP sai rồi mẫu = 0 kìa

\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ca}\)

\(=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2\left(a+b+c\right)}{abc}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}=\left|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right|\)

\(\sqrt{\frac{a}{1-a}}=\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge\frac{2a}{a+b+c}\)(BĐT Cosi)

Tương tự \(\sqrt{\frac{b}{1-b}}\ge\frac{2b}{a+b+c}\) và \(\sqrt{\frac{c}{1-c}}\ge\frac{2c}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{1-a}}+\sqrt{\frac{b}{1-b}}+\sqrt{\frac{c}{1-c}}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b+c;b=a+c;c=a+b\Rightarrow a+b+c=0\) (KTM)

Vậy \(\sqrt{\frac{a}{1-a}}+\sqrt{\frac{b}{1-b}}+\sqrt{\frac{c}{1-c}}>2\)

em mới lớp 6 thôi thông cảm