a. Ta có : x - y = 0 \(\Rightarrow\)x = y

Ta có : xy = xx ( vì x = y) = x^2

Mà x^2 \(\ge\)0 với mọi x nên xy \(\ge\)0 với mọi x.

a)  Ta có x-y=0 => x=y 

      Ta có xy=x.x=x² > 0   (dấu = <=> x=y=0)

  b)  x-y+z=0 => x=y-z.Theo kết quả câu a ta có: x(y-z) > 0 => xy-xz > 0  (1)

      Tương tự: x-y+z=0 => y=x+z => y(x+z) > 0 => xy+yz > 0      (2)

                       x-y+z=0 => z=y-x => z(y-x) > 0 => zy-zx > 0        (3)

     Cộng từng vế của bất đẳng thức (1),(2),(3) ta đc 2(xy+yz-zx) > 0

     Do đó xy+yz-zx > 0  (dấu = <=> x=y=z=0)

  Good luck

Lời giải:

Khi $x-y+z=0\Rightarrow y=x+z$. Thay vào biểu thức $xy+yz-xz$ thì:

$xy+yz-xz=x(x+z)+(x+z)z-xz=x^2+xz+z^2=x^2+\frac{xz}{2}+\frac{xz}{2}+\frac{z^2}{4}+\frac{3}{4}z^2$

$=(x+\frac{z}{2})^2+\frac{3}{4}z^2$

Dễ thấy $(x+\frac{z}{2})^2\geq 0; \frac{3}{4}z^2\geq 0$ với mọi $x,y,z$ nên $xy+yz-xz\geq 0$ 

Ta có đpcm.

\(=\dfrac{xy\left(z-1\right)-y\left(z-1\right)-x\left(z-1\right)+\left(z-1\right)}{xy\left(z+1\right)+y\left(z+1\right)-x\left(z+1\right)-\left(z+1\right)}\\ =\dfrac{\left(z-1\right)\left(xy-y-x+1\right)}{\left(z+1\right)\left(xy+y-x-1\right)}=\dfrac{\left(z-1\right)\left(x-1\right)\left(y-1\right)}{\left(z+1\right)\left(x+1\right)\left(y-1\right)}=\dfrac{\left(z-1\right)\left(x-1\right)}{\left(z+1\right)\left(x+1\right)}\\ =\dfrac{\left(5003-1\right)\left(5001-1\right)}{\left(5003+1\right)\left(5001+1\right)}=\dfrac{5002\cdot5000}{5004\cdot5002}=\dfrac{5000}{5004}=\dfrac{1250}{1251}\)

a/ a² + b² + c² \(\ge\)ab + bc + ca

<=> 2(a² + b² + c²⁾ \(\ge\)2(ab + bc + ca)

<=> (a² - 2ab + b²) + (b² - 2bc + c²) + (c² - 2ca + a² \(\ge0\)

<=> (a - b)² + (b - c)² + (c - a)² \(\ge0\) (đúng)

=> ĐPCM

b/ a² + b² + c² \(\ge\) 2ab - 2ac + 2bc

<=> a² + b² + c² + 2( - ab + ac - bc)\(\ge\) 0

<=> (a - b + c)² \(\ge0\)(đúng)

=> ĐPCM

13: 

xy(x+y)+yz(y+z)+xz(x+z)+2xyz 

= xy(x + y) + yz(y + z) + xyz + xz(x + z) + xyz 

= xy(x + y) + yz(y + z + x) + xz(x + z + y) 

= xy(x + y) + z(x + y + z)(y + x) 

= (x + y)(xy + zx + zy + z²) 

= (x + y)[x(y + z) + z(y + z)] 

= (x + y)(y + z)(z + x)

Đặt \(\left(\frac{yz}{x};\frac{zx}{y};\frac{xy}{z}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow ab+bc+ca=x^2+y^2+z^2=3\)

Ta có:

\(a+b+c\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}=\sqrt{9}=3\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\) hay \(x=y=z=1\)

Ta chứng minh \(\frac{x^4+y^4}{x^2+y^2}\ge\frac{\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2}}{x^2+y^2}=\frac{x^2+y^2}{2}\)

Tương tự và cộng lại

\(\Rightarrow VT\ge x^2+y^2+z^2\ge xy+xz+yz=3\)

chứng minh kiểu j vậy bạn ? , Chỉ mình rõ hơn được không ?