Giải:

Dùng biến đổi tương đương chứng minh được:

\(\left(x^2+x+2\right)^2=x^4+5x^3+4x+4>x^4+2x^3+2x^2+x+3>\) \(x^4+2x^3+x^2=\left(x^2+x\right)^2\)

\(\Rightarrow x^4+2x^3+2x^2+x+3=\left(x^2+x+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^4+2x^3+2x^2+x+3=x^4+2x^3+3x^2+2x+1\)

\(\Leftrightarrow x^2+x-2=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=-2\end{cases}}\)

Vậy \(x=1\) hoặc \(x=-2\) thì phương trình trên là số chính phương

dùng phương pháp hệ số bất định ý bạn gọi đa thức đó là bình phương của đa thức (x^2+ax+b)^2 rồi khai triển là ok

\(P=x^4+2x^2+1-x^2=\left(x^2+1\right)^2-x^2\)

\(P=\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+x+1\right)\)

\(\Rightarrow\) P luôn có ít nhất 2 ước số là \(x^2-x+1\) và \(x^2+x+1\)

Do \(x^2+x+1\ge x^2-x+1\) nên P là SNT khi và chỉ khi \(x^2-x+1=1\) đồng thời \(x^2+x+1\) là SNT

\(x^2-x+1=1\Leftrightarrow x^2-x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\end{matrix}\right.\)

- Với \(x=0\Rightarrow x^2+x+1=1\) ko phải SNT (loại)

- Với \(x=1\Rightarrow x^2+x+1=3\) là SNT (t/m)

Vậy \(x=1\)

A = x^4 - x^2 + 2x + 2 = (x^4 - x^2) + (2x + 2)
= x^2(x^2 - 1) + 2(x + 1) = x^2(x - 1)(x + 1) + 2(x + 1)
= (x + 1)(x^3 - x^2 + 2)
= (x + 1)[(x^3 + 1) - (x^2 - 1)]
= (x + 1)[(x + 1)(x^2 - x + 1) - (x - 1)(x + 1)]
= (x + 1)^2.(x^2 - 2x + 2)
= (x + 1)^2.[(x - 1)^2 + 1]
Với x = - 1 => A = 0 (nhận)
Với x # -1
Ta có : A = k^2 với k là số tự nhiên
=> (x + 1)^2.[(x - 1)^2 + 1] = k^2
=> (x - 1)^2 + 1 phải là số chính phương
=> (x - 1)^2 + 1 = m^2 (với m là số tự nhiên và m^2 >= 1<=> m > 0)
<=> (x - 1)^2 - m^2 = - 1
<=> (x - 1 - m)(x -1 + m) = -1 = 1.(-1)
Vì m > 0 => x - 1 + m > x - 1 - m
x , m nguyên => x - 1 - m và x - 1 + m là số nguyên
=> x - 1 + m = 1 và x - 1 - m = -1
<=> x + m = 2 và x - m = 0
<=> x = m = 1
=> A = 1^4 - 1^2 + 2.1 + 2 = 4 là số chính phương vói x = 1
Vậy x = 1 và x = -1 thì A là số chính phương

Chọn D

a/ ta có: 

\(x\sqrt{2y-1}+y\sqrt{2x-1}=\sqrt{x}.\sqrt{2xy-x}+\sqrt{y}.\sqrt{2xy-y}\)

\(\le\frac{x+2xy-x}{2}+\frac{y+2xy-y}{2}=2xy\)

Dấu = xảy ra khi ...

Khi gì

b/ \(x^4-x^2+2x+2=\left(x+1\right)^2\left(x^2-2x+2\right)\)

\(\Rightarrow x^2-2x+2=y^2\)

Đơn giản rồi ha

a. \(x=\left\{4;9;16\right\}\)

b. \(x=1\)

c. \(x=\left\{-2;-1\right\}\)

đăt. x^2 + 2x +1 +1 = n^2 ( n dương)  suy ra n^2 - (x + 1)^2 = 1 hay (n-x-1)(n+x+1) = 1.1

    suy ra  n - x -1 = 1 và n + x + 1 =1  suy ra n = 1; x = -1.liên hệ 0972315132