Cho A = x-y / x+y
B = y-z/ y+z
C= z-x / z+x
chứng minh: (1+A). (1+B).(1+C) = (1-A).(1-B).(1-C)
Cho a,b,c là các hằng số và a khác -1, b khác -1, c khác -1. Chứng minh rằng nếu x=b*y+c*z; y=a*x+c*z; z=a*x+b*y; x+y+z khác 0 thì 1/(1+a)+1/(1+b)+1/(1+c)=2
a,Tìm x,y,z biết: \(\dfrac{y+z+1}{x}\)=\(\dfrac{x+z+2}{y}\)=\(\dfrac{x+y-3}{z}\)=\(\dfrac{1}{x+y+z}\)
b,Cho \(\dfrac{a}{b}\)=\(\dfrac{b}{c}\)=\(\dfrac{c}{d}\). Chứng minh rằng: (\(\dfrac{a+b+c}{b+c+d}\))3=\(\dfrac{a}{d}\)
c,Cho \(\dfrac{a}{b}\)=\(\dfrac{c}{d}\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{5a+3b}{5c+3d}\)=\(\dfrac{5a-3b}{5c-3d}\)
d,Cho \(\dfrac{3x-2y}{4}\)=\(\dfrac{2z-4x}{3}\)=\(\dfrac{4y-3z}{2}\).Chứng minh rằng: \(\dfrac{x}{2}\)=\(\dfrac{y}{3}\)=\(\dfrac{z}{4}\)
b/ \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{d}\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{a}{b}\right)^3=\dfrac{a}{d}\left(1\right)\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+b+c}{b+c+d}\)
=> \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^3=\left(\dfrac{a+b+c}{c+d+b}\right)^3\) (2)Từ (1) và (2)=>đpcm
1, Phân tích thành nhân tử: 8(x + y + z)^2 - (x + y)^3 - (y + z)^3 - (z + x)^3
2,
a, Phân tích thành nhân tử: 2x^2y^2 + 2y^2z^2 + 2z^2x^2 - x^4 - y^4 - z^4
b, Chứng minh rằng nếu x, y, x là ba cạnh của 1 tam giác thì A > 0
3, Cho x, y, x là độ dài 3 cạnh của một tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu x, y, z thỏa mãn các đẳng thức sau thì tam giác ABC là tam giác đều:
a, (x + y+ z)^2 = 3(xy + yz + zx)
b, (x + y)(y + z)(z + x) = 8xyz
c, (x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 = (x + y - 2z)^2 + (y + z - 2x)^2 + (z + x - 2y)^2
d, (1 + x/z)(1 + z/y)(1 + y/x) = 8
4,
a, Cho 3 số a, b, c thỏa mãn b < c; abc < 0; a + c = 0. Hãy so sánh (a + b - c)(b + c - a)(c + a -b) và (c - b)(b - a)(a - c)
b, Cho x, y, z, t là các số nguyên dương thỏa mãn x + z = y + t; xz 1 = yt. Chứng minh y = t và x, y, z là 3 số nguyên liên tiếp
5, Chứng minh rằng mọi x, y, z thuộc Z thì giá trị của các đa thức sau là 1 số chính phương
a, A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y^4
b, B = (xy + yz + zx)^2 + (x + y + z)^2 . (x^2 + y^2 + z^2)
mày hỏi vả bài kiểm tra à thằng điên
Bài 1: a;b;c > 0 và abc = 1
Chứng minh : \(\dfrac{a}{b^4+c^4+a}+\dfrac{b}{a^4+c^4+b}+\dfrac{c}{a^4+b^4+c}\le1\)
Bài 2: x;y;z > 0 và x + y + z = 2
Chứng minh : \(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\)
1.
Ta có:
\(x^4+y^4\ge\dfrac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)^2=\dfrac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x^2+y^2\right)xy\)
Đặt vế trái của BĐT cần chứng minh là P, áp dụng bồ đề vừa chứng minh ta có:
\(P\le\dfrac{a.abc}{bc\left(b^2+c^2\right)+a.abc}+\dfrac{b.abc}{ca\left(c^2+a^2\right)+b.abc}+\dfrac{c.abc}{ab\left(a^2+b^2\right)+c.abc}\)
\(P\le\dfrac{a^2.bc}{bc\left(a^2+b^2+c^2\right)}+\dfrac{b^2.ac}{ca\left(a^2+b^2+c^2\right)}+\dfrac{c^2.ab}{ab\left(a^2+b^2+c^2\right)}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
2.
\(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{x+y+z}{2}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{2}{3}\)
Đặt $ X = a - b; Y = b - c; Z = c - a \Rightarrow X + Y + Z = 0$
Với X + Y + Z = 0, ta chứng minh được :
$ ( \dfrac{1}{X} + \dfrac{1}{Y} + \dfrac{1}{Z} )^2 = \dfrac{1}{X^2} + \dfrac{1}{Y^2} + \dfrac{1}{Z^2}$
Thật vậy, ta có :
$ ( \dfrac{1}{X} + \dfrac{1}{Y} + \dfrac{1}{Z} )^2 = \dfrac{1}{X^2} + \dfrac{1}{Y^2} + \dfrac{1}{Z^2} + \dfrac{2}{XY} + \dfrac{2}{YZ} + \dfrac{2}{ZX}$
$ = \dfrac{1}{X^2} + \dfrac{1}{Y^2} + \dfrac{1}{Z^2} + 2.\dfrac{X + Y + Z}{XYZ}$
$ = \dfrac{1}{X^2} + \dfrac{1}{Y^2} + \dfrac{1}{Z^2}$ ( do X + Y + Z = 0)
$ \Rightarrow \sqrt{\dfrac{1}{X^2} + \dfrac{1}{Y^2} + \dfrac{1}{Z^2}} = \sqrt{( \dfrac{1}{X} + \dfrac{1}{Y} + \dfrac{1}{Z} )^2} = |\dfrac{1}{X} + \dfrac{1}{Y} + \dfrac{1}{Z}|$
Suy ra : $ \sqrt{\dfrac{1}{(a - b)^2} + \dfrac{1}{(b - c)^2} +\dfrac{1}{( c - a)^2}} = |\dfrac{1}{a - b} + \dfrac{1}{b - c} + \dfrac{1}{c - a}|$
Do a, b, c là số hữu tỷ nên $|\dfrac{1}{a - b} + \dfrac{1}{b - c} + \dfrac{1}{c - a}|$ cũng là số hữu tỷ. Ta có điều phải chứng minh.
1) Cho a,b> 1. Chứng minh: a2/b-1 + b2/a-1>=8
2) cho a,b,c>0
a)chứng minh: 1/a+b <= 1/4 * (1/a+1/b)
b) Chứng minh: x/2x+y+z + y/x+2y+z + z/x+y+2z <= 3/4 với x,y,z >=0
Bài 2:
a) Áp dụng BĐT AM - GM ta có:
\(\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)=\dfrac{1}{4a}+\dfrac{1}{4b}\) \(\ge2\sqrt{\dfrac{1}{4^2ab}}=\dfrac{2}{4\sqrt{ab}}=\dfrac{1}{2\sqrt{ab}}\)
\(\ge\dfrac{1}{a+b}\) (Đpcm)
b) Trừ 1 vào từng vế của BĐT ta được BĐT tương đương:
\(\left(\frac{x}{2x+y+z}-1\right)+\left(\frac{y}{x+2y+z}-1\right)+\left(\frac{z}{x+y+2z}-1\right)\le\frac{-9}{4}\)
\(\Leftrightarrow-\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\le-\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\ge\frac{9}{4}\)
Áp dụng BĐT phụ \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\) ta có:
\(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\)
\(\ge\dfrac{9}{2x+y+z+x+2y+z+x+y+2z}=\dfrac{9}{4\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\ge\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{2x+y+z}+\dfrac{y}{x+2y+z}+\dfrac{z}{x+y+2z}\le\dfrac{3}{4}\) (Đpcm)
Bài 1:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(VT\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a-1+b-1}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b-2}\)
Nên cần chứng minh \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b-2}\ge8\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge8\left(a+b-2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge8a+8b-16\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-4\right)^2\ge0\) luôn đúng
Cho A= \(\frac{x-y}{x+y}\) B=\(\frac{y-z}{y+z}\)
C=\(\frac{z-x}{z+x}\)
chứng minh rằng (1+A)(1+B)(1+C)=(1-A)(1-B)(1-C)
Thay A,B,C vào vế trái , ta có :
\(VT=\left(1+\frac{x-y}{x+y}\right)\left(1+\frac{y-z}{y+z}\right)\left(1+\frac{z-x}{z+x}\right)\)
\(=\left(\frac{x+y+x-y}{x+y}\right)\left(\frac{y+z+y-z}{y+z}\right)\left(\frac{z+x+z-x}{z+x}\right)\)
\(=\frac{2x}{x+y}.\frac{2y}{y+z}.\frac{2z}{z+X}\) \(=\frac{8xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)} \) (1)
Thay A,B,C vào vế phải , ta có
\(VP=\left(1-\frac{x-y}{x+y}\right)\left(1-\frac{y-z}{y+z}\right)\left(1-\frac{z-x}{z+x}\right)\)
\(=\left(\frac{x+y-x+y}{x+y}\right)\left(\frac{y+z-y+z}{y+z}\right)\left(\frac{z+x-z+x}{z+x}\right)\)
\(=\frac{2y}{x+y}.\frac{2z}{y+z}.\frac{2x}{z+x}=\frac{8xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\) (2)
Từ (1),(2) => đpcm
a. Tìm x,y,z biết : 1/x+1/y+1/z=3 và 2x=3y=4z
b. Cho bz-cy/a=cx-az/b=ay-by/c
Chứng minh a/x=b/y=c/z
c. Cho x/a+2b+c=y/2a+b-c=z/4a-4b+c
Chứng minh a/x+2y+z=b/2x+y+z=c/4x-4y+z
Các bạn giải nhanh hộ mình với!! Cảm ơn trước nha! <3
a) 2x=3y=4z⇒\(\dfrac{2}{\dfrac{1}{x}}=\dfrac{3}{\dfrac{1}{y}}=\dfrac{4}{\dfrac{1}{z}}=\dfrac{2+3+4}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}=\dfrac{9}{3}=3\) ( Vì\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=3\))
⇒ x=\(\dfrac{3}{2}\) ; y=1; z=\(\dfrac{3}{4}\)
b) \(\dfrac{bz-cy}{a}=\dfrac{cx-az}{b}=\dfrac{ay-by}{c}\)
= \(\dfrac{abz-acy}{a^{2^{ }}}=\dfrac{bcx-abz}{b^{2^{ }}}=\dfrac{acy-bcy}{c^2}\) =\(\dfrac{\left(abz-acy\right)+\left(bcx-abz\right)+\left(acy-bcy\right)}{a^2+b^2+c^{2^{ }}}=\dfrac{0}{a^2+b^2+c^{2^{ }}}=0\)
⇒\(\dfrac{bz-cy}{a}=\dfrac{cx-az}{b}=\dfrac{ay-by}{c}=0\)
⇒ ✽bz-cy=0⇒bz=cy⇒\(\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}\) (1)
✽ cx-az=0⇒cx=az⇒ \(\dfrac{a}{x}=\dfrac{c}{z}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra\(\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}\)
Chứng minh rằng nếu \(x=\frac{a-b}{a+b};y=\frac{b-c}{b+c};z=\frac{c-a}{c+a}\)
Thì ( 1+x)(1+y)(1+z) = (1-x)(1-y)(1-z)
Có: 1+x = \(\frac{a+b+a-b}{a+b}\) = \(\frac{2a}{a+b}\)
Tương tự, 1 + y = \(\frac{2b}{b+c}\)
1 + z = \(\frac{2c}{c+a}\)
1 - x = \(\frac{q+b-a+b}{a+b}\) = \(\frac{2a}{a+b}\)
Tương tự như thế rồi nhân (1+x), (1+y), (1+z) với nhau; (1-z), (1-y), (1-z) với nhau