\(n^3+3n^2+2n+2016n\)

\(=n\left(n^2+3n+2\right)+2016n\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+2016n\)

Do \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6, và \(2016⋮6\)

\(\Rightarrow\) Biểu thức đã cho chia hết cho 6 với mọi n

Ta có: n³ + 3n² + 2018n = (n³ + 3n² + 2n) + 2016n

Xét (n³ + 3n² + 2n) (1); 2016n (2)

Xét (n³ + 3n² + 2n) (1), có:

n³ + 3n² + 2n

<=> (n³ + n²) + (2n² + 2n)

<=> n²(n + 1) + 2n(n + 1)

<=> (n + 1)(n² + 2n) <=> n(n + 1)(n + 2)

Vì n là số nguyên, nên: n(n + 1)(n + 2) là tích của 3 số nguyên liên tiếp.

=> Vậy sẽ tồn tại số chia hết cho 2 (vì n(n + 1) là tích 2 số nguyên liên tiếp)

=> Vậy sẽ tồn tại số chia hết cho 3 (vì n(n + 1)(n + 2) là tích 3 số nguyên liên tiếp)

=> (n³ + 3n² + 2n) chia hết cho cho 6 (vì 6 = 2.3 và ƯC{2;3}∈{1}).(3)

Xét 2016n (2) có: 2016 ⋮ 6 và n là số nguyên, nên 2016n ⋮ 6. (4)

Từ (3) và (4), suy ra (n³ + 3n² + 2n) + 2016n ⋮ 6

<=> n³ + 3n² + 2018n ⋮ 6 (đpcm)

Trần Thị Thùy Dung tham khảo đây nha:

Câu hỏi của Cute Baby so good - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath

............

a, Khai trển phương trình : 

(5n+2)^2 - 4 = (25n^2 + 2*2*5n + 2^2) - 4 = 25n^2 + 20n + 4 - 4 
= 25n^2 + 20n = 5n(5n + 4) 

--> (52+2)^2 - 4 = 5n(5n + 4) hiển nhiên chia hết cho 5. 

lưu ý : (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

2n³ + 3n² + n = 2n³ + 2n² + n² + n 

= 2n ( n+1 ) + n ( n+1) = 3n ( n+1)

Vì n là số nguyên nên n và n+1 là 2 số nguyên liên tiếp 

=> 1 trong 2 số n và n+1 có 1 số chẵn

=> n(n+1) chia hết cho 2. Mà 2 và 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau 

=> 3.n(n+1) chia hết cho 2.3=6 hay 2n³ + 3n² +n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n

mk làm luôn nhá ^^

tá có:A=(2n+1).(n²-3n-1)-2n³+1=\(2n^3-6n^2-2n+n^2-3n-1-2n^3+1.\)

                                                  =\(-5n^2-5n\)

 Ta thấy:\(-5n⋮5\Rightarrow-5n^2⋮5\)

        \(\Rightarrow-5n^2-5n⋮5\)với mọi số nguyên n

\(\Rightarrowđpcm\)

Ta có:

\(2n^3+3n^2+n=n\left(2n^2+3n+1\right)\)

\(=n\left(2n^2+2n+n+1\right)\)

\(=n\left[2n\left(n+1\right)+\left(n+1\right)\right]\)

\(=n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)\)

\(=n\left(n+1\right)\left(2n-2+3\right)\)

\(=2\left(n-1\right)n\left(n+1\right)+3n\left(n+1\right)\)

Ta có \(n-1\) ; \(n\) và \(n+1\) là \(3\) số nguyên liên tiếp

\(\Rightarrow\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮2\) và \(3\)

Do đó \(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮2.3=6\)

\(\Leftrightarrow2\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮6\left(1\right)\)

Ta lại có: \(n\) và \(n+1\) là 2 số nguyên liên tiếp \(\Rightarrow n\left(n+1\right)⋮2\)

Do đó: \(3n\left(n+1\right)⋮3\)

\(\Leftrightarrow3n\left(n+1\right)⋮2.3=6\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) suy ra \(2n^3+3n^2+n⋮6\)

\(2n^3-3n^2+n\left(\forall n\inℤ\right)\)

\(=n\left(2n^2-3n+1\right)\)

\(=n\left(2n^2-2n-n+1\right)\)

\(=n\left[2n\left(n-1\right)-\left(n-1\right)\right]\)

\(=n\left(n-1\right)\left(2n-1\right)\)

\(=n\left(n-1\right)\left(2n+2-3\right)\)

\(=n\left(n-1\right)\left(2n+2\right)-3n\left(n-1\right)\)

\(=2n\left(n-1\right)\left(n+1\right)-3n\left(n-1\right)\) 

Ta có :

\(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮3\) (tích 3 số liên tiếp)

\(\Rightarrow2n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮6\left(\forall n\inℤ\right)\left(1\right)\)

Ta lại có :

\(n\left(n-1\right)⋮2\) (tích 2 số liên tiếp là số chẵn)

\(\Rightarrow3n\left(n-1\right)⋮6\left(\forall n\inℤ\right)\left(2\right)\)

\(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow2n\left(n-1\right)\left(n+1\right)-3n\left(n-1\right)⋮6\left(\forall n\inℤ\right)\)

\(\Rightarrow2n^3-3n^2+n⋮6\left(\forall n\inℤ\right)\)

Ta có:

\(2n^3-3n^2+n\\ =2n^3-2n^2-n^2-n\\ =2n^2\left(n-1\right)-n\left(n-1\right)\\ =\left(n-1\right)\left(2n^2-n\right)\\ =\left(n-1\right)n\left(2n-1\right)\\ =\left(n-1\right)n\left(2n+2\right)-3\left(n-1\right)n\\ =2\left(n-1\right)n\left(n+1\right)-3\left(n-1\right)n\)

Vì \(n-1;n;n+1\) là ba số nguyên liên tiếp nên có ít nhất một số chia hết cho \(3\) và một số chia hết cho \(2\)

\(\Rightarrow\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮6\\ \Rightarrow2\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮6\left(1\right)\)

Lại có \(n-1;n\) là hai số nguyên liên tiếp nên sẽ có một số chia hết cho \(2\)

\(\Rightarrow\left(n-1\right)n⋮2\\ \Rightarrow3\left(n-1\right)n⋮6\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) ta được:\(2\left(n-1\right)n\left(n+1\right)-3\left(n-1\right)n⋮6\)

Hay \(2n^3-3n^2+n⋮6\)