b)\(y^2=x+\sqrt{x+....+\sqrt{x}}\)

\(\Rightarrow y^2=x+y\Rightarrow y^2-x-y=0\)

Tới đây theo kinh nghiệm 10 năm học toán thì t có thể đoán được 

\(x=-\frac{1}{4};y=\frac{1}{2}\) là nghiệm *đã được chứng minh...*

HÌnh như sai dung ạ :v 

Bình phương hai vế ta có:

 \(x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}=y^2\Rightarrow\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}=y^2-x=t\)

Tiếp túc bình phương và chuyển vế, ta có:

\(\sqrt{x+\sqrt{x}}=t^2-x=u\)

\(x+\sqrt{x}=u^2\)

Do y nguyên, x nguyên nên t nguyên, suy ra u nguyên, suy ra u² nguyên, vậy thì \(\sqrt{x}\) nguyên.

Ta có \(\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)=u^2\). Hai số tự nhiên liên tiếp có tích là số chính phương u² nên \(\sqrt{x}=0\Rightarrow x=0.\)

Từ đó suy ra y = 0.

Vậy nghiệm của phương trình là (x; y) = (0; 0).

\(ĐK:x,y\ge0\)

\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{2019}\Leftrightarrow\sqrt{y}=\sqrt{2019}-\sqrt{x}\)

Bình phương hai vế ta được \(y=2019+x-2\sqrt{2019x}\Rightarrow\sqrt{2019x}\inℕ\)

Vì 2019 = 3.673 và (3;673) = 1 nên \(x=3.673.n^2=2019n^2\left(n\inℕ\right)\)

Tương tự \(y=3.673.m^2=2019m^2\left(m\inℕ\right)\)

Thay vào ta được m + n = 1\(\Rightarrow\left(m;n\right)\in\left\{\left(0;1\right);\left(1;0\right)\right\}\Rightarrow\left(x;y\right)\in\left\{\left(0;2019\right);\left(2019;0\right)\right\}\)

Vậy phương trình có 2 cặp nghiệm (x;y) thỏa mãn là \(\left\{\left(0;2019\right);\left(2019;0\right)\right\}\)

xét x=y,x>y và x<y chú ý tới điều kiện x,y thuộc -1;1 nữa 

Lời giải:

PT $\Leftrightarrow \sqrt{x+y+3}=\sqrt{x}+\sqrt{y}-1$

$\Rightarrow x+y+3=(\sqrt{x}+\sqrt{y}-1)^2$

$\Leftrightarrow x+y+3=x+y+1-2(\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{xy})$

$\Leftrightarrow 1+\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{xy}=0(*)$

$\Rightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2=(\sqrt{xy}-1)^2$

$\Rightarrow 4\sqrt{xy}=xy+1-x-y\in\mathbb{Z}$

Ta có nhận xét sau: Với số không âm $a$ bất kỳ thì khi $\sqrt{a}$ là số hữu tỉ thì $\sqrt{a}$ cũng là số chính phương.

Do đó: $\sqrt{xy}$ là scp

Kết hợp $(*)$ suy ra $\sqrt{x}+\sqrt{y}\in\mathbb{Z}$

$\sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{y})=x+\sqrt{xy}\in\mathbb{Z}$

$\Rightarrow \sqrt{x}=\frac{x+\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\in\mathbb{Q}$

$\Rightarrow \sqrt{x}$ là scp. Kéo theo $\sqrt{y}$ là scp.

Từ $(*)$ ta cũng có $(\sqrt{x}-1)(1-\sqrt{y})=-2$

Đến đây thì với $\sqrt{x}, \sqrt{y}\in\mathbb{Z}$ ta có pt tích khá đơn giản.

ĐKXĐ: x;y > 0

\(pt\Leftrightarrow\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}=y^2-x\)(bình phương + chuyển vế)

 Vì \(\hept{\begin{cases}x;y\inℤ\\x;y\ge0\end{cases}\Rightarrow}x;y\inℕ\)

                           \(\Rightarrow y^2-x\inℕ\)(Vì VP > 0 nên VT > 0 mà 2 số này thuộc N nên hiệu của chúng thuộc N)

Đặt \(y^2-x=a\left(a\inℕ\right)\)

Khi đó \(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}=a\)

    \(\Leftrightarrow\sqrt{x+\sqrt{x}}=a^2-x\)(bình phương+chuyển vế)

Tương tự như trên 

Đặt \(a^2-x=b\left(b\inℕ\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{x+\sqrt{x}}=b\)

\(\Leftrightarrow x+\sqrt{x}=b^2\left(1\right)\)

Từ (1) => \(\sqrt{x}\inℕ\)

Ta có: \(\left(1\right)\Leftrightarrow\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)=b^2\)

Vì \(\sqrt{x}\)và \(\sqrt{x}+1\)là 2 số tự nhiên liên tiếp

Mà b² là số chính phương

\(\Rightarrow\sqrt{x}=0\)

\(\Rightarrow x=0\)

\(\Rightarrow y=0\)

Vậy pt có nghiệm duy nhất (x;y) = (0;0)

\(\left(1+x\sqrt{x^2+1}\right)\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=1\)

\(\Rightarrow\dfrac{1+x\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}+x}=1\)

\(\Rightarrow1+x\sqrt{x^2+1}=\sqrt{x^2+1}+x\)

\(\Rightarrow1+x\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+1}-x=0\)

\(\Rightarrow-\left(x-1\right)+\left(x-1\right)\sqrt{x^2+1}=0\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(\sqrt{x^2+1}-1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\\sqrt{x^2+1}-1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\\sqrt{x^2+1}=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x^2+1=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=0\end{matrix}\right.\)

\(a,2y^2-x+2xy=y+4\\ \Leftrightarrow2y\left(x+y\right)-\left(x+y\right)=4\\ \Leftrightarrow\left(2y-1\right)\left(x+y\right)=4=4\cdot1=\left(-4\right)\left(-1\right)=\left(-2\right)\left(-2\right)=2\cdot2\)

Vì \(x,y\in Z\Leftrightarrow2y-1\) lẻ 

\(\left\{{}\begin{matrix}2y-1=1\\x+y=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=1\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2y-1=-1\\x+y=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=0\end{matrix}\right.\)

Vậy PT có nghiệm \(\left(x;y\right)=\left\{\left(3;1\right);\left(4;0\right)\right\}\)

\(\sqrt{x+y+3}+1=\sqrt{x}+\sqrt{y}\)

Bình phương 2 vế, ta có:

\(x+y+3+1=x+y\)

\(x+y+3+1-x-y=0\)

\(4=0\) (vô lý)

Vậy phương trình vô nghiệm

-Chúc bạn học tốt-

(x,y) hoán vị của (4,9) . có vẻ hoạt động