\(a^2+b^2+b+\frac{5}{2}\ge ab+2a\)

<=> \(a^2-2a-ab+b^2+b+\frac{5}{2}\ge0\)

<=> \(a^2-\left(2+b\right)a+b^2+b+\frac{5}{2}\ge0\)

<=> \(\left(a-\frac{2+b}{2}\right)^2-\frac{\left(2+b\right)^2}{4}+b^2+b+\frac{5}{2}\ge0\)

<=> \(\left(a-\frac{2+b}{2}\right)^2-\frac{\left(2+b\right)^2}{4}+b^2+b+\frac{5}{2}\ge0\)

<=> \(\left(a-\frac{2+b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}+\frac{3}{2}\ge0\) đúng với mọi a; b 

Nhưng không xảy ra dấu bằng. Bạn xem lại đề nhé!

`a) 2 ( a^2 + b^2 ) >= ( a + b )^2`

`<=> 2a^2 + 2b^2 >= a^2 + 2ab + b^2`

`<=> a^2 - 2ab + b^2 >= 0`

`<=> ( a - b )^2 >= 0` (Luôn đúng `AA a,b`)

     `=>` Đẳng thức được c/m

_________________________________________

`b) a^2 + b^2 + c^2 >= ab + bc + ca`

`<=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 >= 2ab + 2bc + 2ca`

`<=> ( a^2 - 2ab + b^2 ) + ( b^2 - 2bc + c^2 ) + ( c^2 - 2ca + a^2 ) >= 0`

`<=> ( a - b )^2 + ( b - c )^2 + ( c - a )^2 >= 0` (Luôn đúng `AA a,b,c`)

         `=>` Đẳng thức được c/m

Giả sử \(c\le1\).

Khi đó: \(ab+bc+ca-abc=ab\left(1-c\right)+c\left(a+b\right)\ge0\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca\ge abc\left(1\right)\)

Đẳng thức xảy ra chẳng hạn với \(a=2,b=c=0\).

Theo giả thiết:

\(4=a^2+b^2+c^2+abc\ge2ab+c^2+abc\)

\(\Leftrightarrow ab\left(c+2\right)\le4-c^2\)

\(\Leftrightarrow ab\le2-c\)

Trong ba số \(\left(a-1\right),\left(b-1\right),\left(c-1\right)\) luôn có hai số cùng dấu.

Không mất tính tổng quát, giả sử \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\).

\(\Rightarrow ab-a-b+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow ab\ge a+b-1\)

\(\Leftrightarrow abc\ge ca+bc-c\)

\(\Rightarrow abc+2\ge ca+bc+2-c\ge ab+bc+ca\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\Rightarrow\) Bất đẳng thức được chứng minh.

a) `4x-2>5x+1`

`<=>-x>3`

`<=>x<-3`

b) Theo BĐT Cauchy:

`a^2+b^2 >= 2ab`

Tương tự:

`b^2+c^2>=2bc`

`c^2+a^2>=2ca`

Cộng vế với vế: `2(a^2+b^2+c^2) >= 2(ab+bc+ca)`

`<=>a^2+b^2+c^2 >= ab+bc+ca` (ĐPCM)

a, \(4x-2>5x+1\Leftrightarrow-x>3\Leftrightarrow x< -3\)

b, Ta có : \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)

\(\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)\ge0\)

\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)* luôn đúng *

=>2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac>=0

=>(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2>=0(luôn đúng)

Xét hiệu a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=1/2.2(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)

=1/2(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc)

=1/2[(a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ac+c^2)+(b^2-2bc+c^2)]
=1/2.[(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2]

vì (a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2>=0
nên 1/2.[(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2]>=0
hay a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc >=0<=> a^2+b^2+c^2>=ab+ac+bc

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho các bộ bốn số không âm, ta được: \(LHS=\frac{2x^2+y^2+z^2}{4-yz}+\frac{2y^2+z^2+x^2}{4-zx}+\frac{2z^2+x^2+y^2}{4-xy}\)\(=\frac{x^2+x^2+y^2+z^2}{4-yz}+\frac{y^2+y^2+z^2+x^2}{4-zx}+\frac{z^2+z^2+x^2+y^2}{4-xy}\)\(\ge\frac{4x\sqrt{yz}}{4-yz}+\frac{4y\sqrt{zx}}{4-zx}+\frac{4z\sqrt{xy}}{4-xy}\)

Như vậy, ta cần chứng minh: \(\frac{4x\sqrt{yz}}{4-yz}+\frac{4y\sqrt{zx}}{4-zx}+\frac{4z\sqrt{xy}}{4-xy}\ge4xyz\)\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{yz}}{yz\left(4-yz\right)}+\frac{\sqrt{zx}}{zx\left(4-zx\right)}+\frac{\sqrt{xy}}{xy\left(4-xy\right)}\ge1\)

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có: \(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\ge\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\le3\)

Đặt \(\left(\sqrt{xy};\sqrt{yz};\sqrt{zx}\right)\rightarrow\left(a;b;c\right)\). Khi đó \(\hept{\begin{cases}a,b,c>0\\a+b+c\le3\end{cases}}\)

và ta cần chứng minh \(\frac{a}{a^2\left(4-a^2\right)}+\frac{b}{b^2\left(4-b^2\right)}+\frac{c}{c^2\left(4-c^2\right)}\ge1\)

Xét BĐT phụ:  \(\frac{x}{x^2\left(4-x^2\right)}\ge-\frac{1}{9}x+\frac{4}{9}\left(0< x\le1\right)\)(*)

Ta có: (*)\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)^2\left(x^2-2x-9\right)}{9x\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\ge0\)(Đúng với mọi \(x\in(0;1]\))

Áp dụng, ta được: \(\frac{a}{a^2\left(4-a^2\right)}+\frac{b}{b^2\left(4-b^2\right)}+\frac{c}{c^2\left(4-c^2\right)}\ge-\frac{1}{9}\left(a+b+c\right)+\frac{4}{9}.3\)

\(\ge-\frac{1}{9}.3+\frac{4}{3}=1\)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

1. Chứng minh với mọi số thực a, b, c ta có 2a²+b²+c²\(\ge\)2a(b+c)

Chứng minh:

Ta có 2a²+b²+c²=(a²+b²)+(a²+c²)

Áp dụng bđt cauchy ta có

(a²+b²)+(a²+c²)\(\ge\)2ab+2ac=2a(b+c)

Đặt vế trái của bất đẳng thức là \(K\)

Với x, y, z > 0, ta có: \(yz\le\frac{\left(y+z\right)^2}{4}< \frac{\left(x+y+z\right)^2}{4}=\frac{9}{4}\Rightarrow4-yz>0\)

Tương tự ta cũng có \(4-zx>0,4-xy>0\)

Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành \(\frac{x^2+y^2+x^2+z^2}{xyz\left(4-yz\right)}+\frac{x^2+y^2+y^2+z^2}{xyz\left(4-zx\right)}+\frac{z^2+y^2+x^2+z^2}{xyz\left(4-xy\right)}\ge4\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có \(K\ge\frac{2xy+2xz}{xyz\left(4-yz\right)}+\frac{2xy+2yz}{xyz\left(4-zx\right)}+\frac{2xz+2yz}{xyz\left(4-xy\right)}\)\(=2\left[\frac{y+z}{yz\left(4-yz\right)}+\frac{z+x}{zx\left(4-zx\right)}+\frac{x+y}{xy\left(4-xy\right)}\right]\)\(=2\left[\frac{1}{z\left(4-yz\right)}+\frac{1}{x\left(4-zx\right)}+\frac{1}{y\left(4-xy\right)}\right]+\)      \(2\left[\frac{1}{y\left(4-yz\right)}+\frac{1}{z\left(4-zx\right)}+\frac{1}{x\left(4-xy\right)}\right]\) 

Lại áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các bộ ba số dương, ta có\(\frac{1}{z\left(4-yz\right)}+\frac{1}{x\left(4-zx\right)}+\frac{1}{y\left(4-xy\right)}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{xyz\left(4-yz\right)\left(4-zx\right)\left(4-xy\right)}}\)

\(\frac{1}{y\left(4-yz\right)}+\frac{1}{z\left(4-zx\right)}+\frac{1}{x\left(4-xy\right)}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{xyz\left(4-yz\right)\left(4-zx\right)\left(4-xy\right)}}\)

Do đó \(K\ge\frac{12}{\sqrt[3]{xyz\left(4-yz\right)\left(4-zx\right)\left(4-xy\right)}}=\frac{12\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3xyz\left(4-yz\right)\left(4-zx\right)\left(4-xy\right)}}\)

Mặt khác ta lại có: \(3xyz\left(4-yz\right)\left(4-zx\right)\left(4-xy\right)\le\left(\frac{3xyz+12-xy-yz-zx}{4}\right)^4\)

Ta có bất đẳng thức quen thuộc \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}=3\Leftrightarrow\frac{xy+yz+zx}{xyz}\ge3\)\(\Leftrightarrow3xyz-xy-yz-zx\le0\)

Suy ra \(3xyz\left(4-yz\right)\left(4-zx\right)\left(4-xy\right)\le3^4=81\) \(\Rightarrow\sqrt[3]{3xyz\left(4-yz\right)\left(4-zx\right)\left(4-xy\right)}\le3\sqrt[3]{3}\)

Do đó \(K\ge\frac{12\sqrt[3]{3}}{3\sqrt[3]{3}}=4\)

Như vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1