\(Để\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{d+a}+\frac{d-a}{a+b}\ge0\)

Thì \(\frac{a-b}{b+c}+1+\frac{b-c}{c+d}+1+\frac{c-d}{d+a}+1+\frac{d-a}{a+b}+1\ge4\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+c}{b+c}+\frac{b+d}{c+d}+\frac{c+a}{d+a}+\frac{d+b}{a+b}\ge4\)

\(\Leftrightarrow\left(a+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a}\right)+\left(b+d\right)\left(\frac{1}{c+d}+\frac{1}{a+b}\right)\ge4\)(Cần phải chứng minh)

Ta có : \(\Leftrightarrow\left(a+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a}\right)+\left(b+d\right)\left(\frac{1}{c+d}+\frac{1}{a+b}\right)\)

\(\ge\left(a+c\right)\left(\frac{4}{a+b+c+d}\right)+\left(b+d\right)\left(\frac{4}{a+b+c+d}\right)=4\)(Áp dụng Cô-si dạng phân thức)

\(\Rightarrow\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{d+a}+\frac{d-a}{a+b}\ge0\)(Đpcm)

   Học tốt ~~

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{xy}\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)với \(x>0,y>0\)thì

\(\frac{a}{b+c}+\frac{c}{d+a}=\frac{a^2+ad+bc+c^2}{\left(b+c\right)\left(a+d\right)}\ge\frac{4\left(a^2+ad+bc+c^2\right)}{\left(a+b+c+d\right)^2}\)\(\left(1\right)\)

Tương tự :\(\frac{b}{c+d}+\frac{d}{a+b}\ge\frac{4\left(b^2+ab+cd+d^2\right)}{\left(a+b+c+d\right)^2}\)\(\left(2\right)\)

Cộng\(\left(1\right)\)với \(\left(2\right)\)được

\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\ge\frac{a\left(a^2+b^2+c^2+d^2+ad+bc+ad+cd\right)}{\left(a+b+c+d\right)^2}=4B\)

Cần chứng minh \(B\ge\frac{1}{2}\), bất đẳng thức này tương dương với

\(2B\ge1\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2+d^2+ad+bc+ab+cd\right)\ge\left(a+b+c+d\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2-2ac-2bd\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-c\right)^2+\left(b-b\right)^2\ge0\)(đúng)

Dấu "="xảy ra \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=c\\b=d\end{cases}}\)

ta đặt \(A=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{bc+bd}+\frac{c^2}{cd+ca}+\frac{d^2}{ad+db}\)

Áp dụng bất đẳng thức svác sơ ta có 

\(A\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{ab+bc+cd+da+2ac+2bd}\)

mặt khác ta có 

\(\left[\left(a+c\right)+\left(b+d\right)\right]^2=\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2+2\left(a+c\right)\left(b+d\right)\)

\(=a^2+c^2+b^2+d^2+2ac+2bd+2\left(ab+ad+bc+cd\right)=a^2+c^2+b^2+d^2+ab+ad+cb+cd+\left(2ac+2bd+ab+ad+cb+cd\right)\)

đến đây cậu dùng cô si ta có 

\(a^2+c^2\ge2ac;b^2+d^2\ge2bd\)

cộng vào ta sẽ ra điêu phải chứng minh

cách hơi cùi một chút nhưng chắc là vẫn được

a/b+c+d>a/a+b+c+d

b/a+c+d>b/a+b+c+d

c/a+b+d>c/a+b+c+d

d/a+b+c>d/a+b+c+d

mả  a+b+c+d/a+b+c+d=1

=>a/b+c+d+b/a+c+d+c/a+b+d+d/a+b+c> hoac =1

Vay...

a) Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) ta có: 

\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\ge\frac{4}{2p-a-b}=\frac{4}{a+b+c-a-b}=\frac{4}{c}\left(p=\frac{a+b+c}{2}\right)\)

Tương tự rồi cộng theo vế:

\(2VT\ge\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}=2VP\Leftrightarrow VT\ge VP\)

Dấu "=" khi \(a=b=c\)

b)sai đề

Ta có :

\(\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{d+a}\ge\frac{a-d}{a+b}\) (1)

\(\Leftrightarrow\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{d+a}+\frac{d-a}{a+b}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+c}{b+c}+\frac{b+d}{c+d}+\frac{c+a}{d+a}+\frac{d+b}{a+b}\ge4\)( Cộng mỗi phân số vs 1 )

\(\Leftrightarrow\left(a+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a}\right)+\left(b+d\right)\left(\frac{1}{c+d}+\frac{1}{a+b}\right)\ge4\) (2)

Với a ,b ,c ,d là các số dương , áp dụng BĐT Svacsơ , ta có :

\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a}\ge\frac{4}{a+b+c+d}\\\frac{1}{c+d}+\frac{1}{a+b}\ge\frac{4}{a+b+c+d}\end{cases}}\)

Suy ra : \(\left(a+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a}\right)+\left(b+d\right)\left(\frac{1}{c+d}+\frac{1}{a+b}\right)\ge\frac{4\left(a+c\right)+4\left(b+d\right)}{a+b+c+d}\)

\(\Leftrightarrow\left(2\right)\)\(\Leftrightarrow\left(1\right)\)( Điều cần CM )

Áp dụng bđt Cosi ta có: \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge2;\frac{b^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2;\frac{c^2}{c+d}+\frac{c+d}{4}\ge2\)\(;\frac{d^2}{d+a}+\frac{d+a}{4}\ge2\)

Cộng theo vế và a+b+c+d=1 ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\frac{a^2}{a+b}=\frac{a+b}{4};\frac{b^2}{b+c}=\frac{b+c}{4};\frac{c^2}{c+d}=\frac{c+d}{4};\frac{d^2}{d+a}=\frac{d+a}{4}\\\\a=b=c=1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow a=b=c=d=\frac{1}{4}\)

Bunyakovsky dạng phân thức

Theo bất đẳng thức Svacxo :

\(VT\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{2\left(a+b+c+d\right)}=\frac{1}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=d=\frac{1}{4}\)

Vậy ta có điều phải chứng minh

bài này thật ra không khó chỉ cần tách đúng là được à bạn thử ngồi tách xem đi 

rồi được rồi nhưng hơi dài nên mình sẽ viết 2 lần nhé

do a;b;c;d bình đẳng với nhau nên ta đặt \(a\ge b\ge c\ge d>0\).Ta có:

Đặt cả cái bài là A => \(A\ge\frac{\left(a-b\right)\left(a-c\right)+\left(b-c\right)\left(b-d\right)+\left(c-d\right)\left(c-a\right)+\left(a-d\right)\left(b-d\right)}{3a}\)

đặt cái trên nhé là B => \(B=\frac{a^2+b^2+c^2+d^2-2ac-2bd}{3a}\)

mà \(a^2+b^2+c^2+d^2\ge2ac+2bd\)=> \(a^2+b^2+c^2+d^2-2ac-2bd\ge0\)=> \(B\ge0\)=>\(A\ge B\ge0\)

Vậy đó là điều phải chứng minh

a/ Biến đổi tương đương:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT được chứng minh

b/ \(VT=\frac{a-d}{b+d}+1+\frac{d-b}{b+c}+1+\frac{b-c}{a+c}+1+\frac{c-a}{a+d}+1-4\)

\(VT=\frac{a+b}{b+d}+\frac{c+d}{b+c}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{c+d}{a+d}-4\)

\(VT=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{b+d}+\frac{1}{a+c}\right)+\left(c+d\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+d}\right)-4\)

\(\Rightarrow VT\ge\left(a+b\right).\frac{4}{b+d+a+c}+\left(c+d\right).\frac{4}{b+c+a+d}-4\)

\(\Rightarrow VT\ge\frac{4}{\left(a+b+c+d\right)}\left(a+b+c+d\right)-4=4-4=0\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d\)

\(VT^2\ge\left(1+1+1+1\right)\left(\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{a+c+d}+\frac{c}{d+a+b}+\frac{d}{b+a+c}\right)\ge4.1=4\)

=> VT >/ 2

Dễ CM được \(\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{a+c+d}+\frac{c}{d+a+b}+\frac{d}{b+a+c}\ge1\)

\(\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\frac{b}{c+d+a}}+\sqrt{\frac{c}{d+a+b}}+\sqrt{\frac{d}{a+b+c}}\)

\(=\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c+d\right)}}+\frac{b}{\sqrt{b\left(c+d+a\right)}}+\frac{c}{\sqrt{c\left(d+a+b\right)}}+\frac{d}{\sqrt{d\left(a+b+c\right)}}\)

\(\ge\frac{a}{\frac{a+b+c+d}{2}}+\frac{b}{\frac{b+c+d+a}{2}}+\frac{c}{\frac{a+b+c+d}{2}}+\frac{d}{\frac{a+b+c+d}{2}}=2\)

Dấu '' = '' xảy ra khi a = b + c+ d 

                              b = c+d+a 

                            c = b+a+d

                             d = a+b+c 

Hình như ko có a ; b; c ;d