xet hiệu 2a⁴+1-2a³-a²=a⁴-2a³+a²+a⁴-2a²+1=(a²-a)² +(a²+1)² >=0 

đcpcm 

Rình mãi ms được 1 câu!

Bài 3:

\(\left(x+1\right)\left(x+3\right)\left(x+5\right)\left(x+7\right)+15\)

Đặt \(A=\left(x+1\right)\left(x+3\right)\left(x+5\right)\left(x+7\right)+15\)

\(A=\left[\left(x+1\right).\left(x+7\right)\right].\left[\left(x+3\right).\left(x+5\right)\right]+15\)

\(A=\left(x^2+7x+x+7\right).\left(x^2+5x+3x+15\right)+15\)

\(A=\left(x^2+8x+7\right).\left(x^2+8x+15\right)+15\)

Đặt \(t=x^2+8x+7\Rightarrow t+8=x^2+8x+15\)

\(\Rightarrow A=t.\left(t+8\right)+15\)

\(A=t^2+8t+15=t^2+3t+5t+15\)

\(A=\left(t^2+3t\right)+\left(5t+15\right)=t.\left(t+3\right)+5.\left(t+3\right)\)

\(A=\left(t+3\right).\left(t+5\right)\)

Vì \(t=x^2+8x+7\) nên

\(A=\left(x^2+8x+7+3\right).\left(x^2+8x+7+5\right)\)

\(A=\left(x^2+8x+10\right).\left(x^2+8x+12\right)\)

\(A=\left(x^2+8x+10\right).\left(x^2+2x+6x+12\right)\)

\(A=\left(x^2+8x+10\right).\left[\left(x^2+2x\right)+\left(6x+12\right)\right]\)

\(A=\left(x^2+8x+10\right).\left[x.\left(x+2\right)+6.\left(x+2\right)\right]\)

\(A=\left(x^2+8x+10\right).\left(x+2\right).\left(x+6\right)\)

Chúc bạn học tốt!!!

Lâu lâu lm 1 câu cho vui!

Câu 2:

Ta có: \(x^2+4y^2+z^2-2x-6z-8y+15\)

= \(\left(x^2-2x+1\right)+\left(4y^2-8y+4\right)+\left(z^2-6x+9\right)+1\)

= \(\left(x-1\right)^2+\left(2y-2\right)^2+\left(z-3\right)^2+1\) \(\ge\) 1 > 0

=> đpcm

$$ x^2+4y^2+z^2-2x-6z-8y+\mathrm{15=(x2-2x+1)+(4y2-8y+4)+(z2-6z+9)+1}$$

$$ \mathrm{=(x-1)2+4(y-1)2+(z-3)2+1}$$

$$ \mathrm{Vì}$$ (x-1)²\(\ge0\);4(y-1)²\(\ge0\);(z-3)²\(\ge0\) nên (x-1)²+4(y-1)²+(z-3)²\(\ge0\)

=>(x-1)²+4(y-1)²+(z-3)²+1\(\ge1\)>0(đpcm)

Bạn nên viết đề bằng công thức toán (biểu tượng $\sum$ góc trái khung soạn thảo) để được hỗ trợ tốt hơn.

F=x²-x+1/4+y²+4y+4+3/4

=(x-1/2)²+(y+2)²+3/4>=3/4>0 với mọi x

=>dpcm

Chia làm 3 khoảng để xét.

Khoảng thứ nhất:\(x< 0\)

Khi đó:\(f\left(x\right)=x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1\)

\(=x^5\left(x-1\right)+x^3\left(x-1\right)+x\left(x-1\right)+1\)

Do \(x< 0\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^5< 0\\x-1< 0\end{cases}}\Rightarrow x^5\left(x-1\right)>0\)

Tương tự ta có:\(\hept{\begin{cases}x^3\left(x-1\right)>0\\x\left(x-1\right)>0\end{cases}}\)

Khi đó \(x^5\left(x-1\right)+x^3\left(x-1\right)+x\left(x-1\right)+1>0\)

Khoảng thứ 2:\(0< x< 1\)

Khi đó \(f\left(x\right)=x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1\)

\(=x^6-x^4\left(x-1\right)-x^2\left(x-1\right)-\left(x-1\right)\)

Do \(0< x< 1\Rightarrow x-1< 0\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^4\left(x-1\right)< 0\\x^2\left(x-1\right)< 0\\x-1< 0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}-x^4\left(x-1\right)>0\\x^2\left(x-1\right)>0\\-\left(x-1\right)>0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow x^6-x^4\left(x-1\right)-x^2\left(x-1\right)-\left(x-1\right)>0\) vì \(x^6>0\)

Khoảng thứ 3:\(1< x\)

Khi đó:\(\hept{\begin{cases}x^5\left(x-1\right)>0\\x^3\left(x-1\right)>0\\x\left(x-1\right)>0\end{cases}}\Rightarrow x^5\left(x-1\right)+x^3\left(x-1\right)+x\left(x-1\right)+1>0\)

Xét \(x=0\Rightarrow f\left(x\right)=1>0\)

Xét \(x=1\Rightarrow f\left(x\right)=1-1+1-1+1-1+1=1>0\)

\(\Rightarrowđpcm\)

K=4

Ta có x₁x₂ = -1

=> x₁ = -\(\frac{1}{x_2}\)

=> x₁ - x₂ = x₁ + \(\frac{1}{x_1}\)

x₁ > 0 thì

x₁ + \(\frac{1}{x_1}\) >= 2\(\sqrt{x_1\frac{1}{x_1}}\)= 2

x₁ < 0 thì

x₁ + \(\frac{1}{x_1}\) <= -2\(\sqrt{x_1\frac{1}{x_1}}\)= -2

Vậy: |x₁-x₂| >= 2

Trước khi làm hình như phải cm pt có nghiệm?

( a = 1, b = -m, c = -1)

\(\Delta=b^2-4ac\)

   \(=\left(-m\right)^2-4.1.\left(-1\right)\)

    \(=m^2+4>0\forall m\)

Vậy pt luôn có 2 nghiệm pb với mọi m

đenta = m^2 +4 >= 4 >0 với mọi m

=> pt luôn có 2 ng x(1) ; x(2)

theo hệ thức Vi-Et có ; x1 + x2 =m và x1 x2 =-1  (1)

Ta có : |x1 -x2|>=2  <=>  (x1 -x2 ) ^2  >=4  <=> x1 ^2 -2x1 x2 + x2 ^2  .=4 <=>  (x1 +x2)^2 -4x1 x2 >=4    (2)

thay (2) vào (1) có :  m^2 +4 >=4 

vì m^2 >=0 Vmọi m =>  m^2 + 4 >=4 Vmọi m hay |x1 -x2 | >= 2 Vmọi m ==>> dpcm  :)