Theo giả thiết AMO = ANO = AIO = 90^o = > 5 điểm A, O, M, N, I thuộc đường tròn đường kính AO 0,25

=> AIN = AMN, AIM = ANM (Góc nội tiếp cùng chắn một cung)

AM = AN => ∆AMN cân tại A => AMN = ANM

=> AIN = AIM => đpcm

1, Xét $(O)$ có các tiếp tuyến $AM;AN$ 

suy ra $\widehat{AMO}=\widehat{ANO}=90^o;AM=AN;AO$ là phân giác $\widehat{MAN}$

nên $\widehat{AMO}+\widehat{ANO}=180^o$

suy ra tứ giác $AMON$ nội tiếp (tổng 2 góc đối =180 độ)

2, Ta có: $AM=AN⇒ΔAMN$ cân tại $A$
có đường phân giác $AO$
$⇒AO$ đồng thời là đường trung trực tam giác $AMN$

$⇒AO⊥MN$ tại $H$

3. Xét $ΔAMO$ vuông tại $M$

$MH$ là đường cao

Nên $AH.AO=AM^2$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Xét $(O)$ có: Tiếp tuyến $AM$

nên $\widehat{AMB}=\widehat{MCB}$ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung $BM$)

hay $\widehat{AMB}=\widehat{ACM}$ 

Xét tam giác $AMB$ và tam giác $ACM$ có:

$\widehat{AMB}=\widehat{ACM}$ 

$\widehat{A}$ chung

Nên  tam giác $AMB$ và tam giác $ACM$ đồng dạng (g.g)

suy ra $\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AM}{AC}$

nên $AM^2=AB.AC$

Từ đó suy ra $AH.AO=AB.AC$

a) Đặt J là trung điểm cạnh BC. Theo quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây ta có ^OIC = ^OJC = 90⁰

Vậy I thuộc đường tròn đường kính OC cố định (đpcm).

b) Kẻ đường kính BK của (O). d cắt CK tại điểm S. Ta có AK vuông góc AB, IS vuông góc AB

Suy ra IS // AK. Vì I là trung điểm cạnh AC của tam giác AKC nên S là trung điểm CK cố định (đpcm).

c) OJ cắt (O) tại hai điểm phân biệt là A' và L (A' thuộc cung lớn BC). Hạ AH vuông góc BC

Ta thấy \(AH+JL\le AL\le2R=A'L\Rightarrow AH\le A'L-JL=A'J\)

Suy ra \(S=\frac{AH.BC}{2}\le\frac{A'J.BC}{2}\)(không đổi). Vậy S lớn nhất khi A trùng A'.

d) Trên đoạn JB,JC lấy M,N sao cho JM = JN = 1/6.BC. Khi đó M,N cố định.

Đồng thời \(\frac{JG}{JA}=\frac{JM}{JB}=\frac{JN}{JC}=\frac{1}{3}\). Suy ra ^MGN = ^BAC = 1/2.Sđ(BC (Vì GM // AB; GN // AC)

Vậy G là các điểm nhìn đoạn MN dưới một góc không đổi bằng 1/2.Sđ(BC, tức là một đường tròn cố định (đpcm).

Chào chú Minh.

1) Trong (O) có BC là dây cung không đi qua O,có H là trung điểm BC

\(\Rightarrow OH\bot BC\Rightarrow\angle OHA=90\) mà \(\angle OMA=90\Rightarrow OMAH\) nội tiếp

2) Ta có: \(\Delta AMO\) vuông tại M có \(AO\bot MI\Rightarrow AM^2=AI.AO\)

1.

Theo giả thiết: \(H\) là trung điểm BC

\(\Rightarrow OH\perp BC\Leftrightarrow\widehat{OHA}=90^o\)

Lại có: \(AM\perp OM\Leftrightarrow\widehat{OMA}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{OHA}+\widehat{OMA}=180^o\)

\(\Rightarrow AMOH\) nội tiếp 

Hay \(A,M,O,H\) cùng thuộc đường tròn đường kính OA