Lời giải:

Gọi $I(a,b)$ là điểm thỏa mãn \(2\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow 2(1-a, 2-b)-(-2-a, 1-b)=(0,0)\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2(1-a)-(-2-a)=0\\ 2(2-b)-(1-b)=0\end{matrix}\right.\Rightarrow a=4; b=3\)

Vậy \(I(4,3)\)

\(|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}|=|2(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})-(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})|\)

\(=|\overrightarrow{MI}+(2\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB})|=|\overrightarrow{MI}|\)

Để \(|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}|_{\min}\) thì \(|\overrightarrow{MI}|_{\min}\). Điều này xảy ra khi $M$ là chân đường cao kẻ từ $I$ đến trục hoành

\(\Rightarrow M=(4,0)\)

Chọn C

Gọi I là trung điểm của 

Ta có: 

IA²+IB² không đổi nên MA²+MB² đạt giá trị nhỏ nhất khi MI đạt giá trị nhỏ nhất.

=> M là hình chiếu của I trên trục Oz.

=> M (0;0;3).

Chọn C

IA²+IB² không đổi nên MA²+MB² đạt giá trị nhỏ nhất khi MI đạt giá trị nhỏ nhất.

Suy ra M là hình chiếu của I trên trục Oz.

Suy ra M (0;0;3).

Đáp án C

Gọi I là trung điểm của BC  ⇒ I 5 2 ; - 1 2 ; 1  và E thỏa mãn  

Khi đó  

Dễ thấy I, E nằm cùng phía với mặt phẳng (Oyz)

Gọi F là điểm đối xứng E qua mp  (Oyz)  ⇒ F - 5 3 ; 2 3 ; - 1 3

Do đó  

Đường tròn \(\left(C\right):\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=25\) có tâm \(I\left(1;1\right)\) và bán kính \(R=5\)

\(\overrightarrow{IA}=\left(6;8\right)\Rightarrow IA=10=2R\)=> Đường tròn (C) chia đôi IA tại C

Gọi D là trung điểm IC, ta có: \(\frac{ID}{IM}=\frac{1}{2}=\frac{IM}{IA}\)=> \(\Delta\)IDM ~ \(\Delta\)IMA (c.g.c), từ đây MA=2MD

Suy ra \(P=2\left(MD+MB\right)\ge2BD\)(không đổi)

Dấu "=" xảy ra khi M thuộc đoạn BD hay M là giao điểm của đoạn BD với (C) 

*) Tìm M:

Ta có: C là trung điểm IA => \(C\left(4;5\right)\), D là trung điểm IC => \(D\left(\frac{5}{2};3\right)\)

\(\overrightarrow{BD}=\left(\frac{5}{2};-5\right)\Rightarrow BD:\hept{\begin{cases}x=\frac{5}{2}t\\y=8-5t\end{cases}}\); vì M thuộc BD nên \(M\left(\frac{5}{2}t;8-5t\right)\)

\(\overrightarrow{IM}=\left(\frac{5}{2}t-1;7-5t\right)\Rightarrow IM^2=\left(\frac{5}{2}t-1\right)^2+\left(7-5t\right)^2=R^2=25\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=2\\t=\frac{2}{5}\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}M\left(5;-2\right)\\M\left(1;6\right)\end{cases}}\)

Nếu \(M\left(5;-2\right)\)thì \(\overrightarrow{MB}=\left(-5;10\right);\overrightarrow{MD}=\left(-\frac{5}{2};5\right)\Rightarrow\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MD}\)=> M nằm ngoài đoạn BD (L)

Vậy \(M\left(1;6\right)\).

a) Gọi \(M\left( {a;b} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \left( {a - 2;b - 3} \right)\)

Tọa độ vecto \(\overrightarrow {BC}  = \left( {4; - 2} \right)\)

Để \(\overrightarrow {AM{\rm{ }}}  = {\rm{ }}\overrightarrow {BC}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 2 = 4\\b - 3 =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = 1\end{array} \right.\)

Vậy để \(\overrightarrow {AM{\rm{ }}}  = {\rm{ }}\overrightarrow {BC} \) thì tọa độ điểm M là:\(M\left( {6;1} \right)\)

b) Gọi \(N\left( {x,y} \right) \Rightarrow \overrightarrow {NC}  = \left( {3 - x, - 1 - y} \right)\)và \(\overrightarrow {AN}  = \left( {x - 2,y - 3} \right)\)

Do N là trung điểm AC nên \(\overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {NC}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 3 - x\\y - 3 =  - 1 - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{5}{2}\\y = 1\end{array} \right.\) . Vậy \(N\left( {\frac{5}{2},1} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {BN} {\rm{ }} = \left( {  \frac{7}{2};0} \right)\) và \(\overrightarrow {NM}  = \left( {\frac{{ 7}}{2};0} \right)\). Vậy \(\overrightarrow {BN} {\rm{ }} = {\rm{ }}\overrightarrow {NM} \)

Gọi `M(x;3/2x+5/2)`

Ta có:`|\vec{MA}-2\vec{MB}|`

`=|(4-x;7-3/2x-5/2)-2(2-x;1-3/2x-5/2)|`

`=|(x;3/2x+17/2)|`

`=\sqrt{x^2+(3/2x+17/2)^2}`

`=\sqrt{x^2+9/4x^2+51/2x+289/4}`

`=\sqrt{13/4x^2+51/2x+289/4}`

`=\sqrt{(\sqrt{13}/2 x+[51\sqrt{13}]/26)^2+289/13} >= [17\sqrt{13}]/13`

Dấu "`=`" xảy ra `<=>\sqrt{13}/2x+[51\sqrt{13}]/26=0<=>x=-51/13`

   `=>M(-51/13;-44/13)`