* Bài này sử dụng cách đẳng thức:

\(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac{1}{2}.\Sigma\left(a-b\right)^2\)

\(27\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)-8\left(a+b+c\right)^3\)

\(=\Sigma\left(-4a-4b-c\right)\left(a-b\right)^2\)

--------------------------------------------------

\(BĐT\Leftrightarrow\frac{8\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)}{ab+bc+ca}+\frac{27\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)-8\left(a+b+c\right)^3}{\left(a+b+c\right)^3}\ge0\) (tự hiểu:v)

\(\Leftrightarrow\frac{4.\frac{1}{2}\Sigma\left(a-b\right)^2}{ab+bc+ca}+\frac{\Sigma\left(-4a-4b-c\right)\left(a-b\right)^2}{\left(a+b+c\right)^3}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\Sigma\left(a-b\right)^2\left(\frac{2}{ab+bc+ca}-\frac{4a+4b+c}{\left(a+b+c\right)^3}\right)\ge0\)

Ta chỉ cần chứng minh \(\frac{2}{ab+bc+ca}-\frac{4a+4b+c}{\left(a+b+c\right)^3}>0\) (rồi tương tự các biểu thức còn lại phía sau:v)

\(\Leftrightarrow\frac{2\left(a+b+c\right)^3-\left(4a+4b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)^3}>0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2a^3+2a^2b+2a^2c+2ab^2+3abc+5ac^2+2b^3+2b^2c+5bc^2+2c^3}{\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)^3}>0\) (luôn đúng với mọi a, b, c > 0)

Như vậy tương tự các biểu thức còn lại phía sau ta có đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

Tự nhiên mò cách này khá là hay và ez nữa:)) mong là được gp:D

\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)

(một hằng đẳng thức rất quý giá đấy)

\(=\frac{8}{9}\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)

Do đó \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\frac{8}{9}\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)

Từ đó:

\(LHS\left(VT\right)\ge\frac{8\left(a^2+b^2+c^2\right)}{ab+bc+ca}+\frac{27.\frac{8}{9}\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a+b+c\right)^3}\)

\(=\frac{8\left(a^2+b^2+c^2\right)}{ab+bc+ca}+\frac{24\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a+b+c\right)^2}\)

\(\ge\frac{\frac{8}{3}\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca}+\frac{24\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a+b+c\right)^2}\)

\(\ge2\sqrt{\frac{\frac{8}{3}\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca}.\frac{24\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a+b+c\right)^2}}=16=RHS\left(VP\right)\)

Ta có đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

Cách khác (trâu bò hơn nhiều:P)

\(\frac{8\left(a^2+b^2+c^2\right)}{ab+bc+ca}+\frac{27\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(a+b+c\right)^3}-16\equiv\frac{F\left(a;b;c\right)}{\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)^3}\)

\(F\left(a;b;c\right)=F\left(x+c;y+c;c\right)\)

\(=162c^3 (x^2-xy+y^2)+3c^2(x+y)(52x^2 -49xy+52y^2)+c(56x^4 + 44x^3 y+30x^2 y^2 +44xy^3+56y^4 ) +(x+y)(8x^4 +11x^2 y^2 +8y^4) \geq 0\)(hiển nhiên đúng với \(c=min\left\{a,b,c\right\}\))

Bài 2: Ta có 2 đẳng thức ngược chiều: \(\frac{8\left(a^2+b^2+c^2\right)}{ab+bc+ca}\ge8;\frac{27\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(a+b+c\right)^3}\le8\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{8\left(a^2+b^2+c^2\right)}{ab+bc+ca}+\frac{27\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(a+b+c\right)^3}\)\(\ge2\sqrt{\frac{8\left(a^2+b^2+c^2\right)}{ab+bc+ca}.\frac{27\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(a+b+c\right)^3}}\)

Suy ra BĐT đã cho là đúng nếu ta chứng minh được

\(27\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)^3\left(1\right)\)

Sử dụng đẳng thức \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)và theo AM-GM: \(abc\le\frac{1}{9}\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)ta được \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\frac{8}{9}\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\left(2\right)\)

Từ (1)và(2) suy ra ta chỉ cần chứng minh \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)đúng=> đpcm

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

Bài 3:

Ta có 2 BĐT ngược chiều: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2};\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\le\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{1}{2}\)

Bổ đề: \(x^3+y^3+z^3+3xyz\ge xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+zx\left(z+x\right)\left(1\right)\forall x,y,z\ge0\)

Chứng minh: Không mất tính tổng quát, giả sử \(x\ge y\ge z\). Khi đó:

\(VT\left(1\right)-VP\left(1\right)=x\left(x-y\right)^2+z\left(y-z\right)^2+\left(x-y+z\right)\left(x-y\right)\left(y-z\right)\ge0\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2\ge64\left(abc\right)^2\)\(\Leftrightarrow\frac{abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge\left[\frac{4abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\right]^3\)

Suy ra ta chỉ cần chứng minh \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{4abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge2\)

\(\Leftrightarrow a\left(a+b\right)\left(a+c\right)+b\left(b+c\right)\left(b+a\right)+c\left(c+a\right)\left(c+b\right)+4abc\)\(\ge2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\)đúng theo bổ đề

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c hoặc a=b,c=0 và các hoán vị

Wow bạn giỏi quá, đúng những bđt mình muốn thấy! Nhưng mà bạn làm được phần cuối không, tại mình chưa giải được.

\(\frac{a}{bc\left(c+a\right)}+\frac{b}{ca\left(a+b\right)}+\frac{c}{ab\left(b+c\right)}\)

\(=\frac{1}{abc}\left(\frac{a^2}{c+a}+\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{b+c}\right)\)

\(\ge\frac{1}{abc}.\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}.\frac{\left(a+b+c\right)}{2}\)

\(\ge\frac{27}{\left(a+b+c\right)^3}.\frac{a+b+c}{2}=\frac{27}{2\left(a+b+c\right)^2}\)

Mình áp dụng BĐT Bunhiacopski được  ko bạn?

\(VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2abc\left(a+b+c\right)}=\frac{\left(a+b+c\right)}{2abc}\ge\frac{\left(a+b+c\right)}{\frac{2\left(a+b+c\right)^3}{27}}=\frac{27}{2\left(a+b+c\right)^2}\)

Em làm thế này đúng không ta:3

giúp với 

Theo bđt Cauchy - Schwart ta có:

\(\text{Σ}cyc\frac{c}{a^2\left(bc+1\right)}=\text{Σ}cyc\frac{\frac{1}{a^2}}{b+\frac{1}{c}}\ge\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+a+b+c}\)\(=\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+3}\)

\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{abc\left(ab+bc+ca\right)+3a^2b^2c^2}\)

Đặt \(ab+bc+ca=x;abc=y\).

Ta có: \(\frac{x^2}{xy+3y^2}\ge\frac{9}{x\left(1+y\right)}\Leftrightarrow x^3+x^3y\ge9xy+27y^2\)

\(\Leftrightarrow x\left(x^2-9y\right)+y\left(x^3-27y\right)\ge0\) ( luôn đúng )

Vậy BĐT đc CM. Dấu '=' xảy ra <=> a=b=c=1

sai rồi nhé bạn 

làm sao mà \(x\left(x^2-9y\right)+y\left(x^3-27y\right)\ge0\)lại luôn đúng

(

hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh

hhhhhhhhhhhhhhhhh

hhhhhhhhhhhhhhhhhh

hhhhhhhhhhhhhhh

hhhhhhhhhhhhh

ko cả biết BĐT AM-GM với C-S là gì còn hỏi bài này rảnh háng

Đề sai rồi. Nếu như là a, b, c dương thì giá trị nhỏ nhất của nó phải là 9 mới đúng. Còn để có GTNN như trên thì điều kiện là a, b, c không âm nhé. Mà bỏ đi e thi cái gì mà phải giải câu cỡ này. Cậu này mạnh lắm đấy không phải dạng thường đâu.