Cho \(a+b+c=3\) và \(a,b,c>0\)
Tìm \(S_{min}=a^3+8b^3+c^3\)
Mọi người dùng cân bằng hệ số mak đưa tham số giả định vào để lm dc ko ạ.
Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm MAX:
\(M=4ab+8bc+6ca\)
P/s: GIúp em bằng phương pháp cân bằng hệ số (thêm tham số vào để giải) với ạ, các sách khác bảo thế nhưng em giải ko ra
Ta có M=a(b+c)+3b(c+a)+5c(a+b)=a(3-a)+3b(3-b)+5c(3-c)=\(\frac{81}{4}\)-\(\left(a-\frac{3}{2}\right)^2+3\left(b-\frac{3}{2}\right)^2+5\left(c-\frac{3}{2}\right)^2\)
Đặt x=\(\left|a-\frac{3}{2}\right|\),y=\(\left|b-\frac{3}{2}\right|\),z=\(\left|c-\frac{3}{2}\right|\)=>x+y+z\(\ge\left|a+b+c-\frac{9}{2}\right|=\frac{3}{2}\)
Khi đó M=\(\frac{81}{4}-\left(x^2+3y^2+5z^2\right)\)
Đưa thêm các tham số\(\alpha,\beta,\gamma>0\)Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:\(x^2+\alpha^2\ge2x\alpha\)(1);\(3y^2+3\beta^2\ge6y\beta\)(2);\(5z^2+5\gamma^2\ge10z\gamma\)(3)
Suy ra: \(M-\alpha^2-3\beta^2-5\gamma^2\le\frac{81}{4}-2\left(x\alpha+3y\beta+5z\gamma\right)\)
Ta chọn \(\alpha=3\beta=5\gamma\)\(\Rightarrow M\le\frac{81}{4}+\alpha^2+3\beta^2+5\gamma^2-2\alpha\left(x+y+z\right)\)\(\le\frac{81}{4}+\alpha^2+3\beta^2+5\gamma^2-3a\)
Ta thấy dấu bằng các bất đẳng thức (1),(2),(3) xảy ra khi \(x=\alpha,y=\beta,z=\gamma\)\(\Rightarrow\alpha+\beta+\gamma=\alpha+\frac{\alpha}{3}+\frac{\alpha}{5}=x+y+z=\frac{3}{2}\)\(\Rightarrow\alpha=\frac{45}{46}\),\(\beta=\frac{15}{46},\gamma=\frac{9}{46}\)
Vậy MaxM=\(\le\frac{81}{4}+\left(\frac{45}{46}\right)^2+3\left(\frac{15}{46}\right)^2+5\left(\frac{9}{46}\right)^2-3.\frac{45}{46}\)=\(\frac{432}{23}\)
Cho phương trình 2 x 2 – 5 x + 3 = 0 .
a) Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a + b + c.
b) Chứng tỏ rằng x 1 = 1 là một nghiệm của phương trình.
c) Dùng định lý Vi-ét để tìm x 2
a) a = 2; b = -5; c = 3
⇒ a + b + c = 2 - 5 + 3 = 0
b) Thay x = 1 vào phương trình ta được:
2 . 1 2 - 5 . 1 + 3 = 0
Vậy x = 1 là một nghiệm của phương trình
c) Theo định lí Vi-et ta có:
x 1 . x 2 = c / a = 3 / 2 ⇒ x 2 = 3 / 2
Mọi người giúp e làm lời giải nhanh vs ạ e cần gấp trong tối nay
Cho a,b,c>0 và a+b+c=3.
Tìm Min A=\(\frac{a^3}{a^2+b^2+ab}+\frac{b^3}{b^2+c^2+bc}+\frac{c^3}{c^2+a^2+ac}\)
BĐt phụ : \(\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\)
c/m :\(3a^2-3ab+3b^2\ge a^2+ab+b^2\)
↔\(2a^2-4ab+2b^2\ge0\)
↔\(2\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Giải ;
ta có:\(\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3-c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3-a^3}{c^2+ac+a^2}=\left(a-b\right)+\left(b-c\right)+\left(c-a\right)=0\)
→\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ac+a^2}\)(1)
mà \(\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\left(a+b\right)\)
↔\(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\left(a+b\right)\)
tương tự ta có:\(\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}\ge\frac{1}{3}\left(b+c\right)\);\(\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\ge\frac{1}{3}\left(a+c\right)\)
cộng vế vs vế ta có:
\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}+\frac{a^3}{c^2+ac+a^2}\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\)
từ (1)→\(2\left(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\right)\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\)
↔ \(S\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)=1\)(đặt S luôn cho tiện)
dấu = xảy ra khi BĐt ở đầu đúng :\(\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}\)mà a+b+c=3↔a=b=c=1
Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn:\(a^2+b^2+c^2=3\). Chứng minh:\(\frac{1}{\sqrt{1+8a^3}}+\frac{1}{\sqrt{1+8b^3}}+\frac{1}{\sqrt{1+8c^3}}\)lớn hơn hoặc bằng 1,
mọi người giúp em với ạ, em cảm ơn nhiều, em đang cần gấp. trả lời đi rồi em vào wall like cho hết ạ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
ap dung bdt am gm
\(\sqrt{1+8a^3}=\sqrt{\left(1+2a\right)\left(4a^2-4a+1\right)}\)\(\le\frac{1+2a+4a^2-2a+1}{2}=\frac{4a^2+2}{2}=2a^2+1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{1+8a^3}}\ge\frac{1}{2a^2+1}\)
tuongtu ta cung co \(\frac{1}{\sqrt{1+8b^3}}\ge\frac{1}{2b^2+1};\frac{1}{\sqrt{1+8c^3}}\ge\frac{1}{2c^2+1}\)
\(\Rightarrow\)VT\(\ge\frac{1}{2a^2+1}+\frac{1}{2b^2+1}+\frac{1}{2c^2+1}\)
tiep tuc ap dung bat cauchy-schwarz dang engel ta co
\(VT\ge\frac{1}{2a^2+1}+\frac{1}{2b^2+1}+\frac{1}{2c^2+1}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+3}=\frac{3^2}{6+3}=1\)(dpcm)
dau = xay ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
ai lm giúp mk vs ạ
Cho a,b,c>0 và a+b+c+abc+6=4.Tìm min P= a^3+b^3+c^3
cho biểu thức \(f\left(a,b\right)=a^2+8b^2-6ab+14a-40b+48\),tìm các số nguyên a,b để f(a,b) = 3
Mọi người chỉ mình cách làm bài này trên máy casio với ạ!! hình như dùng delta, làm thế nào để biểu diễn a qua b đc ạ
\(f\left(a,b\right)=a^2+8b^2-6ab+14a-40b+48=3\)
\(\Leftrightarrow f\left(a,b\right)=a^2+8b^2-6ab+14a-40b+45=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+2a\left(7-3b\right)+\left(8b^2-40b+45\right)=0\)
Xét \(\Delta'=\left(7-3b\right)^2-\left(8b^2-40b+45\right)=b^2-2b+4=\left(b-1\right)^2+3>0\)
Vậy PT luôn có hai nghiệm phân biệt.
Vì a,b nguyên nên \(b^2-2b+4=k^2\left(k\in N\right)\)
\(\Leftrightarrow k^2-\left(b-1\right)^2=3\Leftrightarrow\left(k-b+1\right)\left(k+b-1\right)=3\)
Xét các trường hợp với k-b+1 và k+b-1 là các số nguyên được :
(b;k) = (0;2) ; (0;-2) ; (2;2) ; (2;-2)
Thay lần lượt các giá trị của b vào f(a,b) = 3 để tìm a.
Vậy : (a;b) = (-9;0) ; (-5;0) ; (-3;2) ; (1;2)
bài 1 : Cho 3 số dương a,b,c
\(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ac}{a+c}\)
Tính \(M=\frac{21ab^{2015+12bc^{2015}+15ca^{2015}}}{a^{2016}+b^{2016}+c^{2016}}\)
Bài 2 : Cho 4a = 5b = 6c
Tính \(A=\frac{7a^2+8b^2-9c^2}{4a^2-3b^2+c^{2016}}\)
Bài 3 : Tìm a , b , c biết :
\(\left|\frac{a}{2}-\frac{b}{3}\right|+\left|\frac{b}{4}-\frac{c}{3}\right|+\left|a+b+c-58\right|=0\)
Ai giúp với thanks nhìu nhưng time của e chỉ có từ bây h đến 5h45 sáng mai thôi mong mọi người giúp đỡ :v !! ( làm dc bài nào cx dc ạ )
Bài 3:
Ta có:\(|\frac{a}{2}-\frac{b}{3}|+|\frac{b}{4}-\frac{c}{3}|+|a+b+c-58|=0.\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{2}-\frac{b}{3}=0\\\frac{b}{4}-\frac{c}{3}=0\\a+b+c-58=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}\frac{a}{2}=\frac{b}{3}\\\frac{b}{4}=\frac{c}{3}\\a+b+c=58\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{8}=\frac{b}{12}=\frac{c}{9}\\a+b+c=58\end{cases}}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{8+12+9}=\frac{58}{29}=2\)
=> a/8=2 Vậy a=16
=> b/12=2 Vậy b=24
=> c/9=2 Vậy c=18
Cho phương trình phản ứng: aFe + bH2SO4 → cFe2(SO4)3 + dSO2 + eH2O. Các hệ số cân bằng a, b, c, d, e là các số nguyên tối giản. Tổng (a + b) là
A.8
B.4
C.11
D.7
1. a,b>0, a+b<=1. tìm min P= 1/(a^3+b^3)+1/a^2b+ab^2 ( Dùng BĐT cộng mẫu cho 3 số)
2. a,b,c>0, a^2+b^2+c^2>=1. tìm min P= a+b+c+1/abc
3. x,y,z>0, 1/x+1/y+1/z=4. tìm min P= 1/(2x+y+z)+1/(x+2y+z)+1/(x+y+2z)