Ta có:

\(ab+a+b=3\)

\(\Leftrightarrow a\left(b+1\right)+\left(b+1\right)=4\)

\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)=4\)

Tương tự:\(\left(b+1\right)\left(c+1\right)=9\)

\(\left(c+1\right)\left(a+1\right)=16\)

Khi đó:\(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)=24\)

\(\Rightarrow4\left(c+1\right)=24\Rightarrow c+1=6\Rightarrow c=5\)

Tính toán tương tự ta được \(a=\frac{5}{3};b=\frac{1}{2}\)

Vậy \(a=\frac{5}{3};b=\frac{1}{2};c=5\)

Tại sao (a+1)(b+1)(c+1)=24

E nhân hết mấy tích vừa có thì ra (a+1)^2(b+1)^2(c+1)^2=... thì ra (a+1)(b+1)(c+1)=24 nhé

Lời giải:

\(P=(a+b+c)^2-(ab+bc+ac)=36-(ab+bc+ac)\) $(1)$

Vì \(0\leq a,b,c\leq 4\Rightarrow (a-4)(b-4)(c-4)\leq 0\)

\(\Leftrightarrow abc-4(ab+bc+ac)+16(a+b+c)-64\leq 0\)

\(\Leftrightarrow 4(ab+bc+ac)\geq 32+abc\geq 32\) (do \(abc\geq 0\) )

\(\Rightarrow ab+bc+ac\geq 8\) $(2)$

Từ \((1),(2)\Rightarrow P\leq 28\) hay \(P_{\max}=28\)

Dấu bằng xảy ra khi \((a,b,c)=(0,2,4)\) và các hoán vị của nó

Tu \(\dfrac{ab}{a+b}=\dfrac{bc}{b+c}=\dfrac{ca}{c+a}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\)

Hay \(\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c}\Leftrightarrow a=b=c\)

Thay vao M ta co: \(M=\dfrac{a\cdot a+a\cdot a+a\cdot a}{a^2+a^2+a^2}=\dfrac{2019}{2019}=\dfrac{2018}{2018}=\dfrac{2017}{2017}=\dfrac{2016}{2015+1}=1\)