a )

`VP= (a+b)^3-3ab(a+b)`

     `=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3-3a^2b-3ab^2`

     `=a^3+b^3 =VT (đpcm)`

b) 

b) Ta có

a) Ta có:

`VP= (a+b)^3-3ab(a+b)`

     `=a^3 + b^3+3ab ( a + b )- 3ab ( a + b )`

     `=a^3 + b^3=VT(dpcm)`

b) Ta có

a+b+c=1; a>0; b>0; c>0

=>a>=b>=c>=0

=>a(a-c)>=b(b-c)>=0

=>a(a-b)(a-c)>=b(a-b)(b-c)

=>a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)>=0

mà (a-c)(b-c)*c>=0 và c(c-a)(c-b)>=0 

nên a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+(a-c)(b-c)*c>=0

=>a^3+b^3+c^3+3acb>=a^2b+a^2c+b^2c+b^2a+c^2b+c^2a

=>a^3+b^3+c^3+6abc>=(a+b+c)(ab+bc+ac)

=>a^3+b^3+c^3+6abc>=(ab+bc+ac)

mà a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)

nên 2(a^3+b^3+c^3)+3acb>=a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ac(ĐPCM)

a;b;c ;à độ dài 3 cạnh của tam giác \(\Rightarrow a;b;c>0\)

Ta có:

\(a^3+b^3+c^3=3abc\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\) (do \(a+b+c>0\))

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Hay tam giác ABC đều

Do \(a+b+c=1\) nên BĐT cần chứng minh tương đương:

\(2\left(a^3+b^3+c^3\right)+3abc\ge\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\)

Thật vậy, ta có:

\(2\left(a^3+b^3+c^3\right)=\left(a^3+b^3\right)+\left(b^3+c^3\right)+\left(c^3+a^3\right)\)

\(=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)+\left(b+c\right)\left(b^2+c^2-bc\right)+\left(c+a\right)\left(c^2+a^2-ca\right)\)

\(\ge\left(a+b\right)\left(2ab-ab\right)+\left(b+c\right)\left(2bc-bc\right)+\left(c+a\right)\left(2ca-ca\right)\)

\(=ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

mình biết đấy

đề hơi sai chỉnh lại nha mọi ngừi Bài 17. Cho tam giác ABC (AB=AC) có góc ở đỉnh bằng 20 độ; cạnh đáy là a ; cạnh bên là b . Chứng minh rằng a3 + b3 = 3ab2 

chỉ mình nha

Cách khác dễ hiểu hơn

Áp dụng BĐT Cô si 2 số ko âm 

Ta có: \(\frac{a^3}{b}+ab\ge2\sqrt{a^4}=2a^2\)

Tương tự rồi sau đó lại có:

\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}+ab+bc+ca\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge ab+bc+ca\)

Áp dụng BĐT Cô si với 3 số k âm 

\(\frac{a^3}{b}+\frac{a^3}{b}+b^2\ge\frac{3\sqrt[3]{a^3.a^3.b^2}}{b^2}=3a^2\)

\(\frac{b^3}{c}+\frac{b^3}{c}+b^2\ge3b^2\)

\(\frac{c^3}{a}+\frac{c^3}{a}+c^2\ge3c^2\)

\(\Rightarrow2\left(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\right)+a^2+b^2+c^2\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge a^2+b^2+c^2\)

Mà \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(\Rightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge ab+bc+ca\)