\(3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n\)

\(=\left(3^n.3^2+3^n\right)-\left(2^n.2^2+2^n\right)\)

\(=\left(3^n.10\right)-\left(2^n.5\right)=\left(3^n.10\right)-\left(2^{n-1}.10\right)\)

\(=\left(3^n-2^{n-1}\right).10⋮10\)

Tương tự nhé

Đặt A= n(n+1)(2n+1)

*) CM A chia hết cho 2

+n chẵn --> n chia hết cho 2--> A chia hết cho 2

+n lẻ -->n+1 chẵn --> n+ 1chia hết cho 2--> A chia hết cho2

Vậy A chia hết cho 2(1)

*)CM A chia hết cho 3

+)n chia hết cho 3--> A chia hết cho 3

+)n chia 3 dư 1--> 2n chia 3 dư 2--> 2n+1 chia hết cho 3 --> A chia hết cho 3

+)n chia 3 dư 2--> n+1 chia hết cho 3 --> A chia hết cho 3

Vậy A chia hết cho 3(2)

Từ (1) và (2) --> A chia hết cho 6

Vậy n(n+1)(2n+1) chia hết cho 6

\(n^3-n=n\left(n^2-1\right)=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮6\forall n\)(vì đó là tích 3 số tự nhiên liên tiếp).

ta có 

\(n^3\text{ và }5n\text{ cùng chẵn hoặc cùng lẻ, nên }n^3+5n\text{ là số chẵn, nên chia hết cho 2}\)

nếu n chia hết cho 3 thì dễ  thấy \(n^3+5n=n\left(n^2+5\right)\text{ chia hết cho 3}\)

Nếu n không chia hết cho 3 thì \(n^2\text{ chia 3 dư 1 nên }n+5\text{ chia hết cho 3 nên }n\left(n^2+5\right)\text{ chia hết cho 3}\)

vậy trong mọi trường hợp , \(n\left(n^2+5\right)\text{ chia hết cho 3, mà nó cũng chia hết cho 2 nên nó chia hết cho 6}\)

Ta có : n(n+1)(2n+1)

= n(n+1)(n+2+n-1)

= n(n+1)(n+2)+(n-1)(n+1)n 
Ta thấy n(n+1)(n+2) và (n-1)(n+1)n là ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và chia hết cho 3.

Do đó n(n+1)(n+2)+(n-1)(n+1)n chia hết cho 2 và chia hết cho 3

Mà ƯCLN(2; 3) = 1 nên tổng trên chia hết cho tích (2.3) = 6

Suy ra đpcm   

Lời giải:

Xét \(n=3k\Rightarrow n(n+2)(n+7)=3k(n+2)(n+7)\vdots 3\)

Xét \(n=3k+1\Rightarrow n(n+2)(n+7)=n(3k+3)(n+7)=3n(k+1)(n+7)\vdots 3\)

Xét \(n=3k+2\Rightarrow n(n+2)(n+7)=n(n+2)(3k+9)=3n(n+2)(k+3)\vdots 3\)

Từ các TH trên ta suy ra \(n(n+2)(n+7)\vdots 3\) với mọi \(n\in\mathbb{N}\)