chứng minh
\(\sqrt{\frac{a+b}{2}}\) >= \(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\)
Những câu hỏi liên quan
1.Chứng minh sqrt{x^2+xy+y^2}+sqrt{x^2+xz+z^2}gesqrt{y^2+yz+z^2}2. Cho a,b,c0. Chứng minh left(sqrt[3]{a}+sqrt[3]{b}+sqrt[3]{c}right)left(frac{1}{sqrt[3]{a}}+frac{1}{sqrt[3]{b}}+frac{1}{sqrt[3]{c}}right)-frac{a+b+c}{sqrt[3]{abc}}le63. Cho a,b0 , n là số nguyên dương. Chứng minh frac{1}{sqrt[n]{a}}+frac{1}{sqrt[n]{b}}ge2sqrt[n]{frac{2}{a+b}}4. Cho a,b,c 0. Chứng minh frac{1}{a^2+bc}+frac{1}{b^2+ca}+frac{1}{c^2+ba}lefrac{a+b+c}{2abc}
Đọc tiếp
1.Chứng minh \(\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{x^2+xz+z^2}\ge\sqrt{y^2+yz+z^2}\)
2. Cho a,b,c>0. Chứng minh \(\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\right)\left(\frac{1}{\sqrt[3]{a}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c}}\right)-\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}\le6\)
3. Cho a,b>0 , n là số nguyên dương. Chứng minh \(\frac{1}{\sqrt[n]{a}}+\frac{1}{\sqrt[n]{b}}\ge2\sqrt[n]{\frac{2}{a+b}}\)
4. Cho a,b,c >0. Chứng minh \(\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ca}+\frac{1}{c^2+ba}\le\frac{a+b+c}{2abc}\)
1)Chứng minh:
a)\(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2\sqrt{a}-2\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2\sqrt{a}+2\sqrt{b}}-\frac{2b}{b-a}=\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)
b) \(\left(\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{8}-2}-\frac{\sqrt{216}}{3}\right).\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{-3}{2}\)
\(1,\)\(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2\sqrt{a}-2\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2\sqrt{a}+2\sqrt{b}}-\frac{2b}{b-a}\)
\(=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}-\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}+\frac{4b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2-\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+4b}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}\)
\(=\frac{a+2\sqrt{ab}+b-a+2\sqrt{ab}-b+4b}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}\)
\(=\frac{4\sqrt{ab}+4b}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}\)
\(=\frac{4\sqrt{b}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}=\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
ò, Linh ơi, mình nghĩ bạn làm đúng nhưng mà chỗ dấu ''='' thứ nhất bạn ghi ''4b'' nhưng bước đó bạn phải ghi là ''2b'' tại bước đó chưa có quy đồng, quy đồng mới thành 4b do mẫu chung là \(2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\), chắc bạn hiểu, cảm ơn bạn nhiều nha!
Đúng 0
Bình luận (0)
Còn câu b) bạn biết cách làm không, chỉ mình cách làm cũng được không cần giải tường tận?
Đúng 0
Bình luận (0)
a)Cho a>b>0 chứng minh rằng \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{2\sqrt{ab}}\)
b) Chứng minh \(\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{3}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{5}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{7}+...+\frac{\sqrt{2011}-\sqrt{2010}}{4021}< \frac{1}{2}\)
Chứng minh đẳng thức:
a, \(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2\sqrt{a}-2\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2\sqrt{a}+2\sqrt{b}}-\frac{2b}{b-a}=\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)
b, \(\left(\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{8}-2}-\frac{\sqrt{216}}{3}\right).\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{-3}{2}\)
\(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2\sqrt{a}-2\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2\sqrt{a}+2\sqrt{b}}-\frac{2b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)
\(=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}-\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}-\frac{2b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+b\right)}-\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}-\frac{4b\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2-\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2-4b\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)-4\sqrt{a}b-4b\sqrt{b}}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}\)
\(=\frac{2\sqrt{a}.2\sqrt{b}-4\sqrt{a}b-4b\sqrt{b}}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}\)
\(=\frac{4\sqrt{a}\sqrt{b}-4\sqrt{a}b-4b\sqrt{b}}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}\)
\(=\frac{4\sqrt{a}\sqrt{b}\left(1-\sqrt{b}-b\right)}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}\)
\(=\frac{2\sqrt{a}\sqrt{b}\left(1-\sqrt{b}-b\right)}{a-b}\)
Đề sai???Phân số thứ 3 nghi là a-b chứ ko phải căn a - căn b????????
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh các hăng đẳng thức sau:
\(\sqrt{a\frac{+}{-}\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a+\sqrt{a^2-b}}}{2}\frac{+}{-}\frac{\sqrt{a-\sqrt{a^2-b}}}{2}.\)
nay viet sai roi phai la \(\sqrt{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
1. Rút gọn
D = \(\frac{\sqrt{1+\frac{2\sqrt{2}}{3}}+\sqrt{1-\frac{2\sqrt{2}}{3}}}{\sqrt{1+\frac{2\sqrt{2}}{3}}-\sqrt{1-\frac{2\sqrt{2}}{3}}}\)
2. Chứng minh rằng:
\(\frac{a\sqrt{b}+b}{a-b}.\sqrt{\frac{ab+b^2-2\sqrt{ab^3}}{a\left(a+2\sqrt{b}\right)+b}}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)=b\) với ( a > b > 0 )
Cho a,b,c là ba số dương . Chứng minh bất đẳng thức :\(\sqrt{\frac{2}{a}}+\sqrt{\frac{2}{b}}+\sqrt{\frac{2}{c}}\le\sqrt{\frac{a+b}{ab}}+\sqrt{\frac{a+c}{ac}}+\sqrt{\frac{b+c}{bc}}\)
Không làm mất tính tổng quát của bài toán, giả sử \(a\ge b\ge c\)(1)
Có \(\sqrt{\frac{a+b}{ab}}+\sqrt{\frac{a+c}{ac}}+\sqrt{\frac{b+c}{bc}}=\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{a}}+\sqrt{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}}+\sqrt{\frac{1}{c}+\frac{1}{b}}\)
Từ (1) => \(\hept{\begin{cases}\frac{2}{a}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\\\frac{2}{b}\le\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\\\frac{2}{c}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{\frac{2}{a}}\le\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\\\sqrt{\frac{2}{b}}\le\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\\\sqrt{\frac{2}{c}}\le\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}}\end{cases}}\)
=>\(\sqrt{\frac{2}{a}}+\sqrt{\frac{2}{b}}+\sqrt{\frac{2}{c}}\le\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{a}}+\sqrt{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}}+\sqrt{\frac{1}{c}+\frac{1}{b}}\)
=>\(\sqrt{\frac{2}{a}}+\sqrt{\frac{2}{b}}+\sqrt{\frac{2}{c}}\le\sqrt{\frac{a+b}{ab}}+\sqrt{\frac{a+c}{ac}}+\sqrt{\frac{b+c}{bc}}\)
Ta có đpcm
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho các số dương a,b,c. Chứng minh
\(\sqrt{\frac{2}{a}}+\sqrt{\frac{2}{b}}+\sqrt{\frac{2}{c}}\le\sqrt{\frac{a+b}{ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{bc}}+\sqrt{\frac{c+a}{ac}}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
\(\sqrt{\frac{2}{a}}+\sqrt{\frac{2}{b}}\le\sqrt{2\left(\frac{2}{a}+\frac{2}{b}\right)}=2\sqrt{\frac{a+b}{ab}}\)
Tương tự: \(\sqrt{\frac{2}{b}}+\sqrt{\frac{2}{c}}\le2\sqrt{\frac{b+c}{bc}}\) ; \(\sqrt{\frac{2}{c}}+\sqrt{\frac{2}{a}}\le2\sqrt{\frac{c+a}{ca}}\)
Cộng vế với vế ta sẽ có điều phải chứng minh
Bài 1: Cho a,b>0. Chứng minh \(\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)}< \sqrt[3]{\frac{a}{b}}+\sqrt[3]{\frac{b}{a}}\)
Bài 2: Cho a,b>0. Chứng minh \(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\ge\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{a+b}}\)
Bài 3: Cho a,b,c>0. Chứng minh \(\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}+\frac{5c^3-b^3}{bc+3c^2}+\frac{5a^3-c^3}{ca+3a^2}\le a+b+c\)
1. giải các phương trình :
a) $\frac{\sqrt[2]{2x-3}}{ \sqrt[2]{x-1}}$ = 2
b) x-5 $\sqrt[2]{x-2}$ = -2
2. chứng minh bất đẳng thức :
a) $\frac{a^{2}+3}{ \sqrt[n]{a^{2}+2}}$>2
b) $\sqrt[2]{a}$ + $\sqrt[2]{b}$ $\leq$ $\frac{a}{\sqrt[2]{b}}$ + $\frac{b}{\sqrt[2]{a}}$
với a >0; b>0
2:
a: Sửa đề: \(\dfrac{a^2+3}{\sqrt{a^2+2}}>2\)
\(A=\dfrac{a^2+3}{\sqrt{a^2+2}}=\dfrac{a^2+2+1}{\sqrt{a^2+2}}=\sqrt{a^2+2}+\dfrac{1}{\sqrt{a^2+2}}\)
=>\(A>=2\cdot\sqrt{\sqrt{a^2+2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{a^2+2}}}=2\)
A=2 thì a^2+2=1
=>a^2=-1(loại)
=>A>2 với mọi a
b: \(\Leftrightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}< =\dfrac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}\)
=>\(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}>=a\sqrt{b}+b\sqrt{a}\)
=>\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(a-\sqrt{ab}+b\right)-\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)>=0\)
=>(căn a+căn b)(a-2*căn ab+b)>=0
=>(căn a+căn b)(căn a-căn b)^2>=0(luôn đúng)
Đúng 0
Bình luận (0)
1
ĐK: `x>1`
PT trở thành:
\(\sqrt{\dfrac{2x-3}{x-1}}=2\\ \Leftrightarrow\dfrac{2x-3}{x-1}=2^2=4\\ \Leftrightarrow4x-4-2x+3=0\\ \Leftrightarrow2x-1=0\\ \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\left(KTM\right)\)
Vậy PT vô nghiệm.
b
ĐK: \(x\ge2\)
Đặt \(t=\sqrt{x-2}\) (\(t\ge0\))
=> \(x=t^2+2\)
PT trở thành: \(t^2+2-5t+2=0\)
\(\Leftrightarrow t^2-5t+4=0\)
nhẩm nghiệm: `a+b+c=0` (`1+(-5)+4=0`)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}t=1\left(nhận\right)\\t=4\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-2}=1\\\sqrt{x-2}=4\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\left(TM\right)\\x=18\left(TM\right)\end{matrix}\right.\)
Đúng 0
Bình luận (0)