Bài 1:

\(2x^4+ax^2+bx+c⋮x-2\\ \Leftrightarrow2x^4+ax^2+bx+c=\left(x-2\right)\cdot a\left(x\right)\)

Thay \(x=2\Leftrightarrow32+4a+2b+c=0\Leftrightarrow4a+2b+c=-32\left(1\right)\)

\(2x^4+ax^2+bx+c:\left(x^2-1\right)R2x\\ \Leftrightarrow2x^4+ax^2+bx+c=\left(x-1\right)\left(x+1\right)\cdot b\left(x\right)+2x\)

Thay \(x=1\Leftrightarrow2+a+b+c=2\Leftrightarrow a+b+c=0\left(2\right)\)

Thay \(x=-1\Leftrightarrow2+a-b+c=-2\Leftrightarrow a-b+c=-4\left(3\right)\)

Từ \(\left(1\right)\left(2\right)\left(3\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a+2b+c=-32\\a+b+c=0\\a-b+c=-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-\dfrac{34}{3}\\b=2\\c=\dfrac{28}{3}\end{matrix}\right.\)

Bài 2:

Do \(f\left(x\right):x^2+x-12\) được thương bậc 2 nên dư bậc 1

Gọi đa thức dư là \(ax+b\)

Vì \(f\left(x\right):x^2+x-12\) được thương là \(x^2+3\) và còn dư nên

\(f\left(x\right)=\left(x^2+x-12\right)\left(x^2+3\right)+ax+b\\ \Leftrightarrow f\left(x\right)=\left(x+4\right)\left(x-3\right)\left(x^2+3\right)+ax+b\)

Thay \(x=3\Leftrightarrow f\left(3\right)=3a+b\)

Mà \(f\left(x\right):\left(x-3\right)R2\Leftrightarrow f\left(3\right)=2\Leftrightarrow3a+b=2\left(1\right)\)

Thay \(x=-4\Leftrightarrow f\left(-4\right)=-4a+b\)

Mà \(f\left(x\right):\left(x+4\right)R9\Leftrightarrow f\left(-4\right)=9\Leftrightarrow-4a+b=-9\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\left(2\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a+b=2\\-4a+b=9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-1\\b=5\end{matrix}\right.\)

Do đó \(f\left(x\right)=\left(x^2+x-12\right)\left(x^2+3\right)-x+5\)

\(\Leftrightarrow f\left(x\right)=x^4+3x^2+x^3+3x-12x^2-36-x+5\\ \Leftrightarrow f\left(x\right)=x^4+x^3-9x^2+2x-31\)

Lời giải:

Theo định lý Bê-du về phép chia đa thức thì số dư của $f(x)$ chia cho $x-a$ có số dư là $f(a)$. 

Áp dụng vào bài:

$f(2)=8a+4b+10=14\Leftrightarrow 2a+b=1(1)$

$f(-1)=-a+b-14=-16\Leftrightarrow -a+b=-2(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow a=1; b=-1$

a²+b²=a³+b³=1 

suy ra a = 1 hoặc b = 1

suy ra a⁴+b⁴cũng =1

bạn sai rồi kìa: nếu a=1;b=1 thì a²+b²=a³+b³ <=> 1+1=1+1=2.mà đề ra là bằng 1 mà..bạn xem lại thử nhé

c, theo đề ra ta có:: 

\(f\left(x\right)=\left(x-1\right).g\left(x\right)+7=\left(x+2\right).h\left(x\right)+1\)

Với \(g\left(x\right);\text{ }h\left(x\right)\) là các đa thức biến x.

\(\Rightarrow f\left(1\right)=7;\text{ }f\left(-2\right)=1\)(thay vào 2 cái biểu thức ở trên thôi)

Xét phép chia \(f\left(x\right)\) cho \(\left(x-1\right)\left(x+2\right)\)

Do đa thức chia là bậc 2 nên đa thức dư có bậc lớn nhất là 1.

Giả sử phần dư của phép chia là \(ax+b\)

Khi đó; \(f\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right).k\left(x\right)+ax+b\)

Với \(k\left(x\right)\) là một đa thức biến x.

Ta có: \(f\left(1\right)=\left(1-1\right).\left(1+2\right).k\left(1\right)+a+b=a+b\)

\(f\left(-2\right)=.....=-2a+b\)

Kết hợp với điều ở trên là \(f\left(1\right)=7;\text{ }f\left(-2\right)=1\), ta có hệ 2 ẩn 2 phương trình a, b

Dễ dàng giải được 

\(a=2;\text{ }b=5\)

Vậy số dư là \(r=2x+5\)

a: \(f\left(x\right)+g\left(x\right)=2x^3-2x^2+4x\)

b: \(f\left(x\right)-g\left(x\right)=-2x^2+2x+2\)

a)\(f\left(x\right)+g\left(x\right)=\left(x^3+x^3\right)-2x^2+\left(3x+x\right)+\left(1-1\right)\)

\(f\left(x\right)+g\left(x\right)=2x^3-2x^2+4x\)

b)\(f\left(x\right)-g\left(x\right)=x^3-2x^2+3x+1-x^3-x+1\)

\(f\left(x\right)-g\left(x\right)=-2x^2+2x+2\)

Gọi đa thức dư khi chia f(x) cho \(\left(x-2\right)\left(x-3\right)\) là \(ax+b\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x^2-1\right)+ax+b\left(1\right)\)

Lại có \(f\left(x\right):\left(x-2\right)R5\Leftrightarrow f\left(2\right)=5;f\left(x\right):\left(x-3\right)R7\Leftrightarrow f\left(3\right)=7\)

Thế vào \(\left(1\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(2\right)=2a+b=5\\f\left(3\right)=3a+b=7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow f\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x^2-1\right)+2x+1\\ \Leftrightarrow f\left(x\right)=\left(x^2-5x-6\right)\left(x^2-1\right)+2x+1\\ \Leftrightarrow f\left(x\right)=x^4-x^2-5x^3+5x-6x^2+6+2x+1\\ \Leftrightarrow f\left(x\right)=x^4-5x^3-7x^2+7x+7\)