Lập bảng xét dấu
x(x+5)< 0
\(\frac{-3+x}{x+7}\)>0
\(\frac{-5}{x-3}\)<0
1. Giải bft ( lập bảng xét dấu nếu cần )
\(\frac{x}{x+1}-2\sqrt{\frac{x+1}{x}}>3\)
2. Chứng minh: \(\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{1}{abc}\) ; với a,b,c > 0
3. Cho x,y,z > 0 thỏa mãn x+y+z = 1. Tìm GTLN của biểu thức: P = \(\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\)
1) ĐK: \(\frac{x+1}{x}>0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x>0\\x< -1\end{array}\right.\)
Đặt \(t=\sqrt{\frac{x+1}{x}}\left(t>0\right)\) , bất pt đã cho trở thành:
\(\frac{1}{t^2}-2t>3\Leftrightarrow\frac{1-2t^3-3t^2}{t^2}>0\Leftrightarrow1-2t^3-3t^2>0\)
\(\Leftrightarrow\left(t+1\right)^2\left(1-2t\right)>0\Leftrightarrow1-2t>0\Leftrightarrow t< \frac{1}{2}\)
\(t< \frac{1}{2}\Rightarrow\sqrt{\frac{x+1}{x}}< \frac{1}{2}\Leftrightarrow\frac{x+1}{x}< \frac{1}{4}\Leftrightarrow\frac{3x+4}{4x}< 0\)
Lập bảng xét dấu ta được \(-\frac{4}{3}< x< 0\)
Kết hợp điều kiện ta được: \(-\frac{4}{3}< x< -1\) là giá trị cần tìm
3) Chứng minh BĐT phụ: \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a,b>0\right)\)(1)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{1}{a+b}\le\frac{a+b}{4ab}\Leftrightarrow4ab\le\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)
Dấu '=' xảy ra ↔ a = b
Áp dụng BĐT trên, ta có:
\(\frac{x}{x+1}=\frac{x}{x+x+y+z}=\frac{x}{x+y+x+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}\right)\)
Tương tự:
\(\frac{y}{y+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{y}{y+x}+\frac{y}{y+z}\right)\)
\(\frac{z}{z+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{z}{z+x}+\frac{z}{z+y}\right)\)
Cộng vế theo vế ba BĐT trên ta được:
\(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x+y}+\frac{x}{x+z}+\frac{z}{z+x}+\frac{z}{z+y}+\frac{y}{y+z}\right)\)
\(\Leftrightarrow P\le\frac{1}{4}\left(1+1+1\right)=\frac{3}{4}\)
Dấu '=' xảy ra khi x = y = z = 1/3 (do x + y + z = 1)
Vậy GTLN của P là 3/4 khi x = y = z = 1/3
Bài 2:
Ta có:
\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)\ge\left(a+b\right)\left(2ab-ab\right)=\left(a+b\right)ab\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+abc\ge\left(a+b\right)ab+abc=\left(a+b+c\right)ab\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{\left(a+b+c\right)ab}\left(1\right)\). Tương tự ta có:
\(\frac{1}{b^3+c^3+abc}\le\frac{1}{\left(a+b+c\right)bc}\left(2\right);\frac{1}{a^3+c^3+abc}\le\frac{1}{\left(a+b+c\right)ac}\left(3\right)\)
Cộng theo vế của (1),(2),(3) ta có:
\(\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\)\(\le\frac{1}{a+b+c}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\)
\(=\frac{1}{a+b+c}\cdot\frac{a+b+c}{abc}=\frac{1}{abc}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
Giải ft ( lập bảng xét dấu nếu cần )
1. \(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}-\sqrt{x-1}=0\)
2. \(1+\frac{2}{3}\sqrt{x-x^2}=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}\)
1) ĐK: \(x\ge1\)
Pt \(\Leftrightarrow\sqrt{5x-1}-3-\left(\sqrt{3x-2}-2\right)-\left(\sqrt{x-1}-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{5x-1-9}{\sqrt{5x-1}+3}-\frac{3x-2-4}{\sqrt{3x-2}+2}-\frac{x-1-1}{\sqrt{x-1}+1}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{5\left(x-2\right)}{\sqrt{5x-2}+3}-\frac{3\left(x-2\right)}{\sqrt{3x-2}+2}-\frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(\frac{5}{\sqrt{5x-2}+3}-\frac{3}{\sqrt{3x-2}+2}-\frac{1}{\sqrt{x-1}+1}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=2\) (nhận)
2) ĐK: \(0\le x\le1\)
Đặt \(a=\sqrt{x};b=\sqrt{1-x}\left(a,b\ge0\right)\)
ta có \(a^2+b^2=1\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-2ab=1\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=1+2ab\left(1\right)\)
Pt đã cho trở thành: \(1+\frac{2}{3}ab=a+b\left(2\right)\)
Thế (2) vào (1) ta được: \(1+2ab=\left(1+\frac{2}{3}ab\right)^2\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}ab=\frac{3}{2}\\ab=0\end{array}\right.\)
Thế ab = 3/2 vào (1) được a + b = 2, khi đó a, b là hai nghiệm của pt:
\(t^2-2t+\frac{3}{2}=0\) (vô nghiệm)
Thế ab = 0 vào (1) được a + b = 1, khi đó a, b là hai nghiệm của pt:
\(t^2-t=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}t=1\\t=0\end{array}\right.\)
* Khi a = 1, b = 0: pt đã cho có nghiệm x = 1 (nhận)
* Khi a = 0; b = 1: pt đã cho có nghiệm x = 0 (nhận)
Tìm x sao cho (x-3)(x+4)>0
lập bảng xét dấu
Ta có: (x-3)(x+4)>0
=>hoặc x-3>0 nên x>3
x+4>0 nên x>-4
nên x>3
=>hoặc x-3<0 nên x<3
x+4<0 nên x<-4
nên x<-4
Vậy hoặc x>3 hoặc x<-4 thì (x-3)(x+4)>0
Lập bảng xét dấu:
x | -4 | 3 |
x-3 | - I - | - 0 + |
x+4 | - 0 + | + I + |
(x-3).(x+4) | + 0 - | - 0 + |
Để (x-3).(x+4) > 0 <=> x<-4 hoặc x>3
Lập bảng xét dấu:
\(M=\left(2x-1\right)\left(3+x\right)>0\)
\(N=\left(3-x\right)\left(x+4\right)< 0\)
\(P=\left(4-2x\right)\left(x-1\right)>0\)
Giải bất phương trình (x-1).(x+3) <0
**Lưu ý: làm cách thông thường, không phải lập bảng xét dấu các bạn nhé. Kết quả sau khi mình làm bằng cách lập bảng xét dấu là -3<x<1
Xe máy thứ nhất 1 giờ đi được 1/4 quảng đường
Xe máy thứ hai 1 giờ đi được 1/3 quảng đường
Sau 1,5 giờ 2 xe đi được:(1/4+1/3)x1,5=7/12x3/2=7/8(quảng đường)
quảng đường AB là:
15x8=120(km)
Xem lại đề đi bạnn
Trả lời đúng giúp mình.
lập bảng xét dấu của các biểu thức : a) \(\frac{4-3x}{2x+1}\) b) 1- \(\frac{2-x}{3x-2}\) c) x(x-2)2(3-x) d) \(\frac{x\left(x-3\right)^2}{\left(x-5\right)\left(1-x\right)}\)
Tìm x để :
x-2/3-x<0 ( lập bảng xét dấu )
Tìm x biết (x-2)2.(x+1/3).(x-1)<0
Lập bảng xét dấu.
Đặt A = (x-2)2.(x+1/3).(x-1)
Ta có bảng xét dấu :
x | \(-\frac{1}{3}\) | 1 | 2 | |||
(x-2)2 | + | + | + | + | + | 0 |
x + \(\frac{1}{3}\) | + | 0 | - | + | + | + |
x - 1 | - | - | - | 0 | + | + |
A | - | 0 | + | 0 | + | 0 |
Vậy để A < 0 <=> x < \(-\frac{1}{3}\)
tất cả các cậu cứ cãi nhau hoài vậy
1.Tìm x
a)|x-1|+|x+3|=4
b)|2x+3|-2|4-x|=5
c)|x+1|-|x+3|+lx+5|+|x-7|=8
d)|x-2010|+|x-2012|+|x-2014|=2
các bạn làm theo kiểu bảng xét dấu của x
2.Tìm GTNN
A=2|3x-2|-1
B=5|1-4x|-1
C=7+|3-x|
D=|7-x|+|5-xl
E=|7-x|+|5+x|
F=|x+1|+lx+5|
3.Tìm GTLN
A=5-|2x-1|
B=|x+1|-|3+5|
C=|x+5|-|2+x|
D=\(\frac{1}{lx-1l+3}\)
các bạn làm theo dạng bảng xét dấu của x
a,xet cac th sau
x<1'=>1-x+4+x=4=>3-2x=4
=>2x=-1=>x=-1/2
th2 1<x,<5
=>x-1+4+x=4<=>3=4(vo li)
vay x=-1/2