Question

1. Giải bft ( lập bảng xét dấu nếu cần )

\(\frac{x}{x+1}-2\sqrt{\frac{x+1}{x}}>3\)

2. Chứng minh: \(\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{1}{abc}\) ; với a,b,c > 0

3. Cho x,y,z > 0 thỏa mãn x+y+z = 1. Tìm GTLN của biểu thức: P = \(\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\)

Answer 1

1) ĐK: \(\frac{x+1}{x}>0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x>0\\x< -1\end{array}\right.\)

Đặt \(t=\sqrt{\frac{x+1}{x}}\left(t>0\right)\) , bất pt đã cho trở thành:

\(\frac{1}{t^2}-2t>3\Leftrightarrow\frac{1-2t^3-3t^2}{t^2}>0\Leftrightarrow1-2t^3-3t^2>0\)

\(\Leftrightarrow\left(t+1\right)^2\left(1-2t\right)>0\Leftrightarrow1-2t>0\Leftrightarrow t< \frac{1}{2}\)

\(t< \frac{1}{2}\Rightarrow\sqrt{\frac{x+1}{x}}< \frac{1}{2}\Leftrightarrow\frac{x+1}{x}< \frac{1}{4}\Leftrightarrow\frac{3x+4}{4x}< 0\)

Lập bảng xét dấu ta được \(-\frac{4}{3}< x< 0\)

Kết hợp điều kiện ta được: \(-\frac{4}{3}< x< -1\) là giá trị cần tìm

 

 

Answer 2

3) Chứng minh BĐT phụ: \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a,b>0\right)\)(1)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{1}{a+b}\le\frac{a+b}{4ab}\Leftrightarrow4ab\le\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)

Dấu '=' xảy ra ↔ a = b

Áp dụng BĐT trên, ta có:

\(\frac{x}{x+1}=\frac{x}{x+x+y+z}=\frac{x}{x+y+x+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}\right)\)

Tương tự:

\(\frac{y}{y+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{y}{y+x}+\frac{y}{y+z}\right)\)

\(\frac{z}{z+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{z}{z+x}+\frac{z}{z+y}\right)\)

Cộng vế theo vế ba BĐT trên ta được:

\(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x+y}+\frac{x}{x+z}+\frac{z}{z+x}+\frac{z}{z+y}+\frac{y}{y+z}\right)\)

\(\Leftrightarrow P\le\frac{1}{4}\left(1+1+1\right)=\frac{3}{4}\)

Dấu '=' xảy ra khi x = y = z = 1/3 (do x + y + z = 1)

Vậy GTLN của P là 3/4 khi x = y = z = 1/3

Answer 3

Bài 2:

Ta có:

\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)\ge\left(a+b\right)\left(2ab-ab\right)=\left(a+b\right)ab\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+abc\ge\left(a+b\right)ab+abc=\left(a+b+c\right)ab\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{\left(a+b+c\right)ab}\left(1\right)\). Tương tự ta có:

\(\frac{1}{b^3+c^3+abc}\le\frac{1}{\left(a+b+c\right)bc}\left(2\right);\frac{1}{a^3+c^3+abc}\le\frac{1}{\left(a+b+c\right)ac}\left(3\right)\)

Cộng theo vế của (1),(2),(3) ta có:

\(\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\)\(\le\frac{1}{a+b+c}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\)

\(=\frac{1}{a+b+c}\cdot\frac{a+b+c}{abc}=\frac{1}{abc}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

 

Answer 4

2) Chứng minh BĐT phụ:

\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right);\left(a,b\ge0\right)\left(1\right)\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow a^3-a^2b+b^3-ab^2\ge0\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)\left(a-b\right)\ge0\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)

Dấu '=' xảy ra khi a = b

Áp dụng BĐT trên ta được:

\(\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}=\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\)

Tương tự :

\(\frac{1}{b^3+c^3+abc}\le\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)};\frac{1}{a^3+c^3+abc}\le\frac{1}{ac\left(a+b+c\right)}\)

Cộng vế theo vế 3 BĐT trên ta được:

\(\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{a^3+c^3+abc}\)\(\le\frac{1}{a+b+c}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)=\frac{1}{abc}\)(đpcm)