Bài 5:Dự đoán dấu = xảy ra khi a = 2; b=3;c=4. Ta có hướng giải như sau:

\(A=\left(\frac{3}{4}a+\frac{3}{a}\right)+\left(\frac{b}{2}+\frac{9}{2b}\right)+\left(\frac{1}{4}c+\frac{4}{c}\right)+\frac{a}{4}+\frac{b}{2}+\frac{3}{4}c\)

Áp dụng BĐT AM-GM,ta được:

\(A\ge2\sqrt{\frac{3}{4}a.\frac{3}{a}}+2\sqrt{\frac{b}{2}.\frac{9}{2b}}+2\sqrt{\frac{1}{4}c.\frac{4}{c}}+\frac{1}{4}\left(a+2b+3c\right)\)

\(\ge3+3+2+\frac{1}{4}.20=13\)

Dấu "=" xảy ra khi a = 2; b=3;c=4

VẬy A min = 13 khi a = 2; b=3;c=4

Bài 1: Bạn xem lại đề, với điều kiện như đã cho thì A có max chứ không có min

Bài 2:
\(A=(a+1)^2+\left(\frac{a^2}{a+1}+2\right)^2=(a+1)^2+\left(\frac{a^2+2a+2}{a+1}\right)^2\)

\(=(a+1)^2+\left(\frac{(a+1)^2+1}{a+1}\right)^2=(a+1)^2+\left(a+1+\frac{1}{a+1}\right)^2\)

\(=t^2+(t+\frac{1}{t})^2=2t^2+\frac{1}{t^2}+2\) (đặt \(t=a+1)\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(2t^2+\frac{1}{t^2}\geq 2\sqrt{2}\Rightarrow A\geq 2\sqrt{2}+2\)

Vậy $A_{\min}=2\sqrt{2}+2$. Dấu "=" xảy ra khi \(a=\pm \frac{1}{\sqrt[4]{2}}-1\)

Bài 3:

Áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương ta có:

\(A=a+\frac{2}{a^2}=\frac{a}{2}+\frac{a}{2}+\frac{2}{a^2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a}{2}.\frac{a}{2}.\frac{2}{a^2}}=3\sqrt[3]{\frac{1}{2}}\)

Vậy \(A_{\min}=3\sqrt[3]{\frac{1}{2}}\) khi \(a=\sqrt[3]{4}\)