Lại một số bài bất đẳng thức nữa, bạn nào làm được câu nào cứ làm nhé!
Bài 1: Cho \(a,b,c>0\)thỏa \(a+b+c=10\). Tìm \(minA=a^2\cdot b^3\cdot c^5\)
Bài 2: Tìm \(minA=\left(a+1\right)^2+\left(\frac{a^2}{a+1}+2\right)^2\)
Bài 3: Tìm \(minA=a+\frac{2}{a^2}\)với \(a>0\)
Bài 4: Cho \(x,y,z>0\)thỏa \(xyz=1\)
Tìm \(minA=\frac{x^2\left(y+z\right)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{y^2\left(z+x\right)}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{z^2\left(x+y\right)}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Bài 5: Cho \(a,b,c>0\)thỏa \(a+2b+3c\ge20\)
Tìm \(minA=a+b+c+\frac{3}{a}+\frac{9}{2b}+\frac{4}{c}\)
Bài 6: Cho \(a,b,c>0\)thỏa \(ab\ge12;bc\ge8\)
Chứng minh rằng : \(\left(a+b+c\right)+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)+\frac{8}{abc}\ge\frac{121}{12}\)
Bài 5:Dự đoán dấu = xảy ra khi a = 2; b=3;c=4. Ta có hướng giải như sau:
\(A=\left(\frac{3}{4}a+\frac{3}{a}\right)+\left(\frac{b}{2}+\frac{9}{2b}\right)+\left(\frac{1}{4}c+\frac{4}{c}\right)+\frac{a}{4}+\frac{b}{2}+\frac{3}{4}c\)
Áp dụng BĐT AM-GM,ta được:
\(A\ge2\sqrt{\frac{3}{4}a.\frac{3}{a}}+2\sqrt{\frac{b}{2}.\frac{9}{2b}}+2\sqrt{\frac{1}{4}c.\frac{4}{c}}+\frac{1}{4}\left(a+2b+3c\right)\)
\(\ge3+3+2+\frac{1}{4}.20=13\)
Dấu "=" xảy ra khi a = 2; b=3;c=4
VẬy A min = 13 khi a = 2; b=3;c=4
Bài 1: Bạn xem lại đề, với điều kiện như đã cho thì A có max chứ không có min
Bài 2:
\(A=(a+1)^2+\left(\frac{a^2}{a+1}+2\right)^2=(a+1)^2+\left(\frac{a^2+2a+2}{a+1}\right)^2\)
\(=(a+1)^2+\left(\frac{(a+1)^2+1}{a+1}\right)^2=(a+1)^2+\left(a+1+\frac{1}{a+1}\right)^2\)
\(=t^2+(t+\frac{1}{t})^2=2t^2+\frac{1}{t^2}+2\) (đặt \(t=a+1)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(2t^2+\frac{1}{t^2}\geq 2\sqrt{2}\Rightarrow A\geq 2\sqrt{2}+2\)
Vậy $A_{\min}=2\sqrt{2}+2$. Dấu "=" xảy ra khi \(a=\pm \frac{1}{\sqrt[4]{2}}-1\)
Bài 3:
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương ta có:
\(A=a+\frac{2}{a^2}=\frac{a}{2}+\frac{a}{2}+\frac{2}{a^2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a}{2}.\frac{a}{2}.\frac{2}{a^2}}=3\sqrt[3]{\frac{1}{2}}\)
Vậy \(A_{\min}=3\sqrt[3]{\frac{1}{2}}\) khi \(a=\sqrt[3]{4}\)
Bài 4:
Đặt \((\sqrt{x}, \sqrt{y}, \sqrt{z})=(a,b,c)\). Bài toán trở thành:
Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1$. Tìm min :
\(A=\sum \frac{a^4(b^2+c^2)}{b^3+2c^3}\)
-------------------------------------------
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(a^4(b^2+c^2)\geq a^4.2bc=2a^3.(abc)=2a^3\)
\(\Rightarrow \frac{a^4(b^2+c^2)}{b^3+2c^3}\geq \frac{2a^3}{b^3+2c^3}\). Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế, thu được:
\(A\geq 2\left(\frac{a^3}{b^3+2c^3}+\frac{b^3}{c^3+2a^3}+\frac{c^3}{a^3+2b^3}\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(2\left(\frac{a^3}{b^3+2c^3}+\frac{b^3}{c^3+2a^3}+\frac{c^3}{a^3+2b^3}\right)=2\left(\frac{a^6}{a^3b^3+2a^3c^3}+\frac{b^6}{b^3c^3+2a^3b^3}+\frac{c^6}{a^3c^3+2b^3c^3}\right)\)
\(\geq 2.\frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{3(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)}\geq 2\) (theo hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM thì \((a^3+b^3+c^3)^2\geq 3(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)\))
Do đó: \(A\geq 2\) hay $A_{\min}=2$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$ hay $x=y=z=1$
Bài 5:
Chọn điểm rơi ta có:
\(A=a+b+c+\frac{3}{a}+\frac{9}{2b}+\frac{4}{c}\)
\(=\frac{1}{4}(a+2b+3c)+(\frac{3}{4}a+\frac{3}{a})+(\frac{b}{2}+\frac{9}{2b})+(\frac{c}{4}+\frac{4}{c})\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{3}{4}a+\frac{3}{a}\geq 3; \frac{1}{2}b+\frac{9}{2b}\geq 3; \frac{c}{4}+\frac{4}{c}\geq 2\)
\(\frac{1}{4}(a+2b+3c)\geq \frac{1}{4}.20=5\) (theo giả thiết)
\(\Rightarrow A\geq 5+3+3+2=13\)
Vậy $A_{\min}=13$. Dấu "=" xảy ra khi \(a=2; b=3; c=4\)
Bài 3 (số xấu quá má ơi ;(()
Dự đoán xảy ra cực trị khi \(a=\sqrt[3]{4}\).Ta biến đổi như sau:
\(A=a+\frac{2}{a^2}+\frac{2}{\left(\sqrt[3]{4}\right)^2}-\frac{2}{\left(\sqrt[3]{4}\right)^2}\)
\(\ge a+\frac{4}{\left(\sqrt[3]{4}.a\right)}-\frac{2}{\sqrt[3]{4}}\ge2\sqrt{a.\frac{4}{\sqrt[3]{4}.a}}=2\sqrt{\frac{4}{\sqrt[3]{4}}}-\frac{2}{\left(\sqrt[3]{4}\right)^2}\) (em lười tính tiếp vì số xấu quá -_-)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=\sqrt[3]{4}\)
Vậy..
Bài 6:
Dự đoán được $a=3,b=4, c=2$. Từ đây ta tách ghép hợp lý để áp dụng AM-GM:
\(\text{VT}=a+b+c+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)+\frac{8}{abc}\)
\(=\left(\frac{a}{18}+\frac{b}{24}+\frac{2}{ab}\right)+(\frac{b}{16}+\frac{c}{8}+\frac{2}{bc})+(\frac{c}{6}+\frac{a}{9}+\frac{2}{ac})+(\frac{a}{9}+\frac{b}{12}+\frac{c}{6}+\frac{8}{abc})+13(\frac{a}{18}+\frac{b}{24})+13(\frac{b}{48}+\frac{c}{24})\)
\(\geq 3\sqrt[3]{\frac{2}{18.24}}+3\sqrt[3]{\frac{2}{16.8}}+3\sqrt[3]{\frac{2}{6.9}}+4\sqrt[4]{\frac{8}{9.12.6}}+26\sqrt{\frac{ab}{18.24}}+26\sqrt{\frac{bc}{48.24}}\)
\(\geq 3\sqrt[3]{\frac{2}{18.24}}+3\sqrt[3]{\frac{2}{16.8}}+3\sqrt[3]{\frac{2}{6.9}}+4\sqrt[4]{\frac{8}{9.12.6}}+26\sqrt{\frac{12}{18.24}}+26\sqrt{\frac{8}{48.24}}\)
\(=\frac{121}{12}\) (đpcm)
Bài 1:
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương ta có:
\(a+b+c=\frac{a}{2}+\frac{a}{2}+\frac{b}{3}+\frac{b}{3}+\frac{b}{3}+\frac{c}{5}+\frac{c}{5}+\frac{c}{5}+\frac{c}{5}+\frac{c}{5}\geq 10\sqrt[10]{\frac{a^2.b^3.c^5}{2^2.3^3.5^5}}\)
\(\Leftrightarrow 10\geq 10\sqrt[10]{\frac{a^2b^3c^5}{2^2.3^3.5^5}}\)
\(\Leftrightarrow A=a^2b^3c^5\leq 2^2.3^3.5^5=337500\)
Vậy $A_{\max}=337500$. Dấu "=" xảy ra khi $(a,b,c)=(2,3,5)$
Có một phương pháp khá tổng quát cho bài 5 mà em vừa nghĩ ra, ko cần biết điểm rơi đâu:) nhưng vẫn cần máy tính casio or vinacal gì đó:v
Ta biến đổi sao cho \(A=k\left(a+2b+3c\right)+Q\) (k thuộc N)
Khi đó thay vào ta sẽ tìm được: \(Q=a-ka+b-2k.b+c-3k.c+\frac{3}{a}+\frac{9}{2b}+\frac{4}{c}\)
\(=\left(1-k\right)a+\left(1-2k\right)b+\left(1-3k\right)c+\frac{3}{a}+\frac{9}{2b}+\frac{4}{c}\)
Suy ra \(A=k\left(a+2b+3c\right)+\left(1-k\right)a+\frac{3}{a}+\left(1-2k\right)b+\frac{9}{2b}+\left(1-3k\right)c+\frac{4}{c}\)
Áp dụng BĐT AM-GM kết hợp giả thiết và rút gọn:
\(A\ge10k+2\sqrt{3\left(1-k\right)}+2\sqrt{\frac{9}{2}\left(1-2k\right)}+2\sqrt{4\left(1-3k\right)}\)
Bây giờ xét dấu bằng(em làm tắt luôn): \(a=\sqrt{\frac{3}{1-k}};2b=2\sqrt{\frac{9}{2\left(1-2k\right)}};3c=3\sqrt{\frac{4}{1-3k}}\)
Suy ra \(20=a+2b+3c=\sqrt{\frac{3}{1-k}}+2\sqrt{\frac{9}{2\left(1-2k\right)}}+3\sqrt{\frac{4}{1-3k}}\)
Giải cái pt cồng kềnh này bằng máy tính tìm được k = 1/4
Thế là xong:v Có gì sai sót hoặc góp ý xin mọi người bình luận bên dưới giúp em ạ. Đi thi,kẹt quá ko dự đoán được dấu bằng thì ms dùng thôi chớ ở nhà có phần mềm thì dùng cách này làm gì cho nó khổ 
