a, ta xét:

\(\frac{1}{2}< \frac{2}{3}\)

\(\frac{3}{4}< \frac{4}{5}\)

\(\frac{5}{6}< \frac{6}{7}\)

.....

\(\frac{99}{100}< \frac{100}{101}\)

=>\(\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}.....\frac{99}{100}< \frac{2}{3}.\frac{4}{5}.\frac{6}{7}.....\frac{100}{101}\)

hay:A<B(đpcm)

b,\(A.B=\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.....\frac{99}{100}.\frac{2}{3}.\frac{4}{5}.....\frac{100}{101}\)

\(=\frac{1.2.3....100}{2.3.4....101}=\frac{1}{101}\)

c,vì A<B (theo phần a)

=>A.A<B.A

Mà B.A=\(\frac{1}{101}\)

=>A²<101

Mà A²=\(\left(\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.....\frac{99}{100}\right)^2\)

=>\(\left(\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.....\frac{99}{100}\right)^2\)<\(\frac{1}{101}\)<\(\frac{1}{100}=\frac{1}{10^2}\)

=>\(\left(\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.....\frac{99}{100}\right)^2\)<\(\frac{1}{10^2}\)

=>\(\frac{1}{2}.\frac{3}{4}....\frac{99}{100}< \frac{1}{10}\)

Hay A<\(\frac{1}{10}\)

ta có: a + b=-2 ; a^2 + b^2 = 52

=> (a+b)^2 = 4 => a^2 + 2ab + b^2 = 4

=> 52 + 2ab= 4

=> 48= -2ab

=> ab= -24

a^3 + b^3 = (a+b)( a^2-ab+ b^2)

=> a^3 + b^3 = -2.(52+24)= -2. 76= -152

Ta có công thức tổng quát như sau:

\(A=n^k+n^{k+1}+n^{k+2}+...+n^{k+x}\Rightarrow A=\dfrac{n^{k+x+1}-n^k}{n-1}\)

Áp dụng ta có:

\(A=1+4+4^2+...+4^6=\dfrac{4^7-1}{3}\) 

\(\Rightarrow B-3A=4^7-3\cdot\dfrac{4^7-1}{3}=1\)

______

\(A=2^0+2^1+...+2^{2008}=2^{2009}-1\)

\(\Rightarrow B-A=2^{2009}-2^{2009}+1=1\)

_____

\(A=1+3+3^2+....+3^{2006}=\dfrac{3^{2007}-1}{2}\)

\(\Rightarrow B-2A=3^{2007}-2\cdot\dfrac{3^{2007}-1}{2}=1\)

a: Xét ΔABC có \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^0\)

=>\(\widehat{C}=180^0-60^0-45^0=75^0\)

Xét ΔABC có \(\dfrac{BC}{sinA}=\dfrac{AC}{sinB}=\dfrac{AB}{sinC}\)

=>\(\dfrac{BC}{sin60}=\dfrac{4}{sin45}=\dfrac{AB}{sin75}\)

=>\(BC=2\sqrt{6};AB=2+2\sqrt{3}\)

b: Xét ΔABC có

\(\dfrac{BC}{sinA}=2R\)

=>\(2R=6:sin60=4\sqrt{3}\)

=>\(R=2\sqrt{3}\)

\(C=180^0-\left(A+B\right)=75^0\)

Áp dụng định lý hàm sin:

\(\dfrac{b}{sinB}=\dfrac{c}{sinC}\Rightarrow c=\dfrac{b.sinC}{sinB}=\dfrac{8.sin75^0}{sin45^0}=4+4\sqrt{3}\)

Hình như đề bài sai ý bạn ak

AB=21/(3+4)x3=9 cm

AC=21-9=12cm

Tự kẻ hình bạn nhé =)))

Áp dụng định lí Pitago vào tam giác ABC , có

AB^2+AC^2=BC^2

=>thay số vào, tính được BC=15cm

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tg vuông, có:

AB^2=BHxBC

=>BH=81/15=5.4cm

=>CH=15-5.4=9.6cm

AH^2=BHxCH=5.4x9.6=51.84cm

1. Không có dấu "=" em nhé.

Vì $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác nên theo BĐT tam giác thì:

$a< b+c\Rightarrow a^2< ab+ac$

$b< a+c\Rightarrow b^2< ba+bc$

$c< a+b\Rightarrow c^2< ca+cb$

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2< 2(ab+bc+ac)$ 

Ta có đpcm. 

2.

$(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$

$=(x-1)(x-4)(x-2)(x-3)$

$=(x^2-5x+4)(x^2-5x+6)$

$=(x^2-5x+4)(x^2-5x+4+2)$

$=(x^2-5x+4)^2+2(x^2-5x+4)$

$=(x^2-5x+4)^2+2(x^2-5x+4)+1-1$

$=(x^2-5x+5)^2-1\geq 0-1=-1$ do $(x^2-5x+5)^2\geq 0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$

Vậy ta có đpcm.

3.

Áp dụng BĐT Cô-si:

$a^4+b^4\geq 2a^2b^2$

$b^4+c^4\geq 2b^2c^2$

$c^4+a^4\geq 2c^2a^2$

Cộng theo vế và thu gọn thì:

$a^4+b^4+c^4\geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2(*)$
Tiếp tục áp dụng BĐT Cô-si:

$a^2b^2+b^2c^2\geq 2|ab^2c|\geq 2ab^2c$

$b^2c^2+c^2a^2\geq 2abc^2$

$a^2b^2+c^2a^2\geq 2a^2bc$

Cộng theo vế và thu gọn:

$\Rightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq abc(a+b+c)(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow a^4+b^4+c^4\geq abc(a+b+c)$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$