Ta có : \(f'\left(x\right)=\left(3^x\ln3\right)\left(x-\sqrt{x^2+1}\right)+3^x\left(1-\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)=3^x\left(x-\sqrt{x^2+1}\right)\left(\ln3-\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\right)\)

Mà : \(\begin{cases}\sqrt{x^2+1}>\sqrt{x^2}=\left|x\right|\ge x\Rightarrow x-\sqrt{x^2+1}< 0\\\ln3>1>\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\Rightarrow\ln3-\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}>0\end{cases}\)

\(\Rightarrow f'\left(x\right)< 0\) với mọi x thuộc R

Vậy hàm số \(y=f\left(x\right)=3^x\left(x-\sqrt{x^2+1}\right)\) nghịch biến trên R

a) Hàm số đồng biến nếu \(\dfrac{k^2+2}{k-3}>0\) \(\Leftrightarrow k>3\)

b) Hàm số nghịch biến nếu \(\dfrac{k+\sqrt{2}}{k^2+\sqrt{3}}< 0\Leftrightarrow k< -\sqrt{2}\)

Vì \(\sqrt{2}-1=\sqrt{2}-\sqrt{1}>0\)

nên hàm số \(y=\left(\sqrt{2}-1\right)x-3\) đồng biến trên R

Hàm số y =(\(\sqrt{ }\)2 -1)x-3 là đồng biến trên R. Vì Hàm số trên có tính chất :

- Đồng biên trên R với a > 0

- Nghịch biến trên R với a < 0

Với x 1 ,  x 2  là hai giá trị bất kì của x thuộc R, ta có:

y 1  = f( x 1 ) = 4 - 2/5  x 1 ;  y 2  = f( x 2 ) = 4 - 2/5 x 2

Nếu  x 1  <  x 2  thì  x 1  -  x 2  < 0. Khi đó ta có:

y 1  -  y 2  = (4 - 2/5  x 1  ) - (4 - 2/5  x 2  )

= (-2)/5( x 1  -  x 2 ) > 0. Suy ra  y 1  >  y 2

Vậy hàm số đã cho là hàm nghịch biến trên R.

a Để hàm số y đồng biến trên R 

thì k²+2/k-3 > 0  đk k khác 3 

mà k²+2>0 thì k-3 > 0 suy ra k>3

b Để hàm số Y đồng biến trên R

thì k+ căn 2/ k²+ căn 3 < 0 mà x²+ căn 3 >0 suy ra k< - căn 2

giả sử x1>x2

tiếp theo thay vào f(x1,x2)theo y1,y2

tự giải

\(\dfrac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}=\dfrac{-x_1+1+x_2-1}{x_1-x_2}=-1\)

Vậy: f(x) nghịch biến trên R

a: \(y=-\dfrac{1}{3}x^3-mx^2+4x+2021m\)

=>\(y'=-\dfrac{1}{3}\cdot3x^2-m\cdot2x+4\)

=>\(y'=-x^2-2m\cdot x+4\)

Để hàm số nghịch biến trên R thì \(y'< =0\forall x\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\text{Δ}< =0\\a< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(-2m\right)^2-4\cdot\left(-1\right)\cdot4< =0\\-1< 0\end{matrix}\right.\)

=>\(4m^2+16< =0\)

mà \(4m^2+16>=16>0\forall m\)

nên \(m\in\varnothing\)

b: \(y=-\dfrac{1}{3}\cdot x^3-\dfrac{1}{2}\cdot m\cdot x^2+x+20\)

=>\(y'=-\dfrac{1}{3}\cdot3x^2-\dfrac{1}{2}\cdot m\cdot2x+1\)

=>\(y'=-x^2-m\cdot x+1\)

Để hàm số nghịch biến trên R thì \(y'< =0\forall x\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\text{Δ}< =0\\a< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(-m\right)^2-4\cdot\left(-1\right)\cdot1< =0\\-1< 0\end{matrix}\right.\)

=>\(m^2+4< =0\)

mà \(m^2+4>=4>0\forall m\)

nên \(m\in\varnothing\)