Xét n > 9 , ta có 

\(S=2^9+2^{13}+2^n=2^9\left(1+2^{13}+2^{n-9}\right)\)

Vì \(\left(1+2^{13}+2^{n-9}\right)\)lẻ nên S chia hết cho 2⁹ nhưng không chia hết cho 2¹⁰ nên không là số chính phương

Xét n < 0 , ta có 

\(S=2^9+2^{13}+2^n=2^n\left(1+2^{13-n}+2^{9-n}\right)\)

Vì \(\left(1+2^{13-n}+2^{9-n}\right)\) lẻ mà S là số chính phương nên 2ⁿ là số chính phương => n chẵn => \(n\in\left\{2;4;6;8\right\}\)

Khi đó , S là số chính phương , 2ⁿ là số chính phương => \(\left(1+2^{13-n}+2^{9-n}\right)\) là số chính phương

Số chính phương lẻ luôn có chữ số tận cùng là 1,9,5 

Ta xét từng trường hợp nhưng nhận thấy không có trường hợp nào thõa mãn 

Vậy với n = 9 thì ............

`k^2-k+10`

`=(k-1/2)^2+9,75>9`

`k^2-k+10` là số chính phương nên đặt

`k^2-k+10=a^2(a>3,a in N)`

`<=>4k^2-4k+40=4a^2`

`<=>(2k-1)^2+39=4a^2`

`<=>(2k-1-2a)(2k-1+2a)=-39`

`=>2k-2a-1,2k+2a-1 in Ư(39)={+-1,+-3,+-13,+-39}`

`2k+2a>6`

`=>2k+2a-1> 5`

`=>2k+2a-1=39,2k-2a-1=-1`

`=>2k+2a=40,2k-2a=0`

`=>a=k,4k=40`

`=>k=10`

Vậy `k=10` thì `k^2-k+10` là SCP

`+)2k+2a-1=13,2k-2a-1=-3`

`=>2k+2a=14,2k-2a=-2`

`=>k+a=7,k-a=-1`

`=>k=3`

Vậy `k=3` hoặc `k=10` thì ..........

Ta có:

\(A=2^9+2^{13}+2^n\)

Xét \(n\ge9\)ta có

\(A=2^9\left(1+2^4+2^{n-9}\right)\)

A chia hết cho 2⁹ nên A phải chia hết cho 2¹⁰ (vì A là số chính phương).

\(\Rightarrow1+2^4+2^{n-9}\)là số chẵn 

\(\Rightarrow2^{n-9}\)là số lẻ

\(\Rightarrow n-9=0\)

\(\Rightarrow n=9\)

Thế ngược lại ta được: \(A=2^9+2^{13}+2^9=9216\)(đúng)

Xét \(n\le8\)thì ta có.

\(A=2^9+2^{13}+2^n=2^n\left(2^{9-n}+2^{13-n}+1\right)\)

Dễ thấy thừa số trong ngoặc luôn là số lẻ nên A sẽ không thể là số chính phương được

Vậy n = 9 thì A là số chính phương 

Không hiểu

ta có :

Lời giải:

Đặt tổng trên là $A$.

Với $n=1$ thì $2^n+3^n+4^n=9$ là scp (thỏa mãn)

Xét $n\geq 2$. Khi đó:

$2^n\equiv 0\pmod 4; 4^n\equiv 0\pmod 4$

$\Rightarrow A=2^n+3^n+4^n\equiv 3^n\equiv (-1)^n\pmod 4$

Vì 1 scp khi chia 4 chỉ có thể có dư là $0$ hoặc $1$ nên $n$ phải là số chẵn.

Đặt $n=2k$ với $k$ nguyên dương.

Khi đó: $A=2^{2k}+3^{2k}+4^{2k}\equiv (-1)^{2k}+0+1^{2k}\equiv 2\pmod 3$
Một scp khi chia 3 chỉ có thể có dư là 0 hoặc 1 nên việc chia 3 dư 2 như trên là vô lý

Vậy TH $n\geq 2$ không thỏa mãn. Tức là chỉ có 1 giá trị $n=1$ thỏa mãn.

a)Giả sử tồn tại số nguyên n sao cho \(n^2+2002\)là số chình phương.

\(\Rightarrow n^2+2002=a^2\left(a\inℕ^∗\right)\)

\(\Rightarrow a^2-n^2=2002\)

\(\Rightarrow a^2+an-an-n^2=2002\)

\(\Rightarrow a\left(a+n\right)-n\left(a+n\right)=2002\)

\(\Rightarrow\left(a-n\right)\left(a+n\right)=2002\)

Mà \(2002⋮2\)\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a-n⋮2\\a+n⋮2\end{cases}\left(1\right)}\)

Ta có : \(\left(a+n\right)-\left(a-n\right)=-2n\)

\(\Rightarrow\)\(a-n\)và \(a+n\)có cùng tính chẵn lẻ \(\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\): \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-n⋮2\\a+n⋮2\end{cases}}\)

Vì 2 là số nguyên tố \(\Rightarrow\left(a-n\right)\left(a+n\right)⋮4\)

mà 2002 không chia hết cho 4

\(\Rightarrow\)Mâu thuẫn

\(\Rightarrow\)Điều giả sử là sai

\(\Rightarrow\)Không tồn tại số nguyên n thỏa mãn đề bài