a: Xét tứ giác BHCK có

BH//CK

BK//CH

=>BHCK là hình bình hành

=>H,M,K thẳng hàng

b: BHCK là hình thoi khi BH=HC

=>AB=AC

a) Xét ΔADB vuông tại D và ΔAEC vuông tại E có 

\(\widehat{EAC}\) chung

Do đó: ΔADB\(\sim\)ΔAEC(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{AB}{AC}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\)

Xét ΔADE và ΔABC có 

\(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\)(cmt)

\(\widehat{A}\) chung

Do đó: ΔADE\(\sim\)ΔABC(c-g-c)

a: ta có: BH\(\perp\)AC

CK\(\perp\)AC

Do đó: BH//CK

Ta có: CH\(\perp\)AB

BK\(\perp\)BA

Do đó: CH//BK

Xét tứ giác BHCK có

BH//CK

BK//CH

Do đó: BHCK là hình bình hành

b: Ta có: BHCKlà hình bình hành

=>BC cắt HK tại trung điểm của mỗi đường

mà M là trung điểm của BC

nên M là trung điểm của HK

=>H,M,K thẳng hàng

a, Ta có:

- BH là đường cao của tam giác ABC, nên BH vuông góc với AC.

- CK là đường cao của tam giác ABC, nên CK vuông góc với AB.

- Vì BH và CK đều vuông góc với hai cạnh AB và AC của tam giác ABC, nên BHCK là hình bình hành.

b, Gọi M là trung điểm của BC. Ta cần chứng minh CM, HM và KM thẳng hàng.

- Vì M là trung điểm của BC, nên BM = MC.

- Ta có BHCK là hình bình hành, nên BH = CK.

- Vì BH và CK là đường cao của tam giác ABC, nên BH = 2HM và CK = 2KM.

- Từ đó, ta có BM = MC = HM = KM.

- Vì BM = MC và HM = KM, nên CM, HM và KM thẳng hàng.

Vậy, ta đã chứng minh được CM, HM và KM thẳng hàng.

a) Có góc A chung và 2 góc vuông => ĐPCM

b) Xét EHB và DHC có:

2 góc vuông và 2 góc đối đỉnh  EHB và DHC

=> EHB đồng dạng với DHC

=>BH/CH=EH/DH

=>BH.DH=EH.CH

c)Từ câu a ta suy ra được tỉ số : AB/AC=AD/AE

và có góc A chung .

Từ đó suy ra: ADE đồng dạng với ABC

=> góc ADE= góc ABC

d) Ta có IO là đường trung bình ( tự chứng minh )

=> IO//AH => AHM đồng dạng với IOM

Tỉ số cạnh = AM/IM =2 ( do là đường trung bình )

Tỉ số diện tích của AHM so với IOM là 2²=4

Vậy S_AHM=4.S_IOM