Cho a,b,c > 0. cmr:
\(\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\ge\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)
1. CMR: \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}\)
2. Cho a, b , c >0 .CMR: \(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ba}{c}\ge a+b+c\)
\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2b^2}{b^2c^2}}\ge\frac{2a}{c}\) ; \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{2c}{b}\) ; \(\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{2b}{a}\)
Cộng vế với vế ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
2. \(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge2\sqrt{\frac{bc.ac}{ab}}=2c\) ; \(\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\ge2a\) ; \(\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}\ge2b\)
Cộng vế với vế ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Cho a,b,c>0 .CMR :
\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\)
áp dụng bất đẳng thức bu nhi a
ta có \(3\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\right)\ge\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2\)
lại có a/b+b/c+c/a \(\ge\)3 (bđt cauchy)
nhân từng vế ta có \(3\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\right)\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}\right)\ge3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2\)
suy ra đpcm
cho \(c\ge b\ge a>0\) . Cmr: \(\frac{2a^2}{b+c}+\frac{2b^2}{c+a}+\frac{2c^2}{a+b}\le\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\)
cho a, b, c>0. CMR a\(\frac{a^3}{b}\ge a^2+ab-b^2\)
CM \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}\)
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác CM \(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Tự nhiên lục được cái này :'(
3. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)
\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{b+c-a+c+a-b}=\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b-c+c+a-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)
Cộng theo vế ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
CMR: nếu a>0, b>0, c>0 thì ta có:\(\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\ge\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)
a/Cho a,b,c>0 . CMR: \(\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}+\frac{c}{1+c^2}\le\frac{3}{2}\)
b/ Cho\(a\ge b\ge c>0\)
CMR: \(\frac{a^2-b^2}{c}+\frac{c^2-b^2}{a}+\frac{a^2-c^2}{b}\ge3a-4b+c\)
a)Bạn đặt A = a/ (1 + a^2). => A + a^2A = a => a^2A - a + A = 0. ta có delta = 1 - 4A^2 ( gọi ẩn số là a). => để pt có nghiệm <=> 1 - 4A^2 >= 0 => để phương trình có nghiệm => 1 - 4A^2 >= 0 => 1 >= 4A^2 => A =< 1/2. => max A = 1/2. bạn giải tương tự B = b/(1+b^2), C = c/(1 + c^2) rồi cộng vào nhau là ra ngay thôi. Đây là cách giải bằng delta.
b)bạn có (a^2 - b^2)/c = ((a+b)(a-b))/c >= (c + c)(a-b)/c = 2(a - b). Bạn có c =< b ( theo đề bài) = > c + b =< 2b => (c + b) =<2b => (c + b)/b <= 2 => (c + b)/a <= 2. từ đó ta có (c^2 - b^2)/a = (c -b )(c + b)/a >= 2(c - b).
chứng minh tương tự:(a + c)/b > 1 => (a^2 - c^2)/b >= a - c.( sr ngại gõ lắm) => cộng 3 vế ta được đpcm
Cho a,b,c >0 CMr :
\(a.\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+c}\ge\frac{a+b+c}{2}.\)
\(b.\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c\)
a)Chứng minh BĐT phụ sau: \(\frac{p^2}{m}+\frac{q^2}{n}\ge\frac{\left(p+q\right)^2}{m+n}\) (m,n>0) (*)
\(\Leftrightarrow\frac{p^2n+q^2m}{mn}-\frac{p^2+2pq+q^2}{m+n}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{p^2n\left(m+n\right)+q^2m\left(m+n\right)-p^2mn-2pqmn-q^2mn}{mn\left(m+n\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(pq\right)^2-2.qp.mn+\left(qm\right)^2}{mn\left(m+n\right)}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(pn-qm\right)^2}{mn\left(m+n\right)}\ge0\) (đúng)
Dấu "=" xảy ra khi pn = qm.
Áp dụng BĐT (*) 2 lần,ta có: \(VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}^{\left(đpcm\right)}\)
b) Có cách này như mình không chắc:
Chuẩn hóa abc = 1.Đặt \(\left(a;b;c\right)\rightarrow\left(\frac{x}{y};\frac{y}{z};\frac{z}{x}\right)\)
Ta cần chứng minh: \(\frac{y^2}{x^2}+\frac{z^2}{y^2}+\frac{x^2}{z^2}\ge\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\)
Ta có: \(\frac{y^2}{x^2}+\frac{z^2}{y^2}\ge2.\frac{z}{x}\) (Cô si)
\(\frac{z^2}{y^2}+\frac{x^2}{z^2}\ge2.\frac{x}{y}\)
\(\frac{y^2}{x^2}+\frac{x^2}{z^2}\ge2.\frac{y}{z}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên,ta được:\(2\left(\frac{y^2}{x^2}+\frac{z^2}{y^2}+\frac{x^2}{z^2}\right)\ge2\left(\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)\)
Suy ra \(\frac{y^2}{x^2}+\frac{z^2}{y^2}+\frac{x^2}{z^2}\ge\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{y^2}{x^2}=\frac{z^2}{y^2}\\\frac{z^2}{y^2}=\frac{x^2}{z^2}\end{cases}\Leftrightarrow}\frac{y^2}{x^2}=\frac{z^2}{y^2}=\frac{x^2}{z^2}\Leftrightarrow\frac{y}{x}=\frac{z}{y}=\frac{x}{z}\Leftrightarrow a=b=c\)
Ta có:
a, a^2/(b + c) + (b + c)/4 >= a
=> a^2/(b + c) >= a - (b + c)/4 (1)
Tương tự ta có
b^2/(c + a) >= b - (c + a)/4 (2)
c^2/(a + b) >= c - (a + b)/4 (3)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được
b^2/(a + c) + c^2/(a + b) >= a - (b + c)/4 + b - (c + a)/4 + c - (a + b)/4
= (a + b + c)/2
Dấu = xảy ra khi a = b = c
cho a,b,c>0. CMR :\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{a+b+c}{2}\)
Áp dụng bất dẳng thức Cauchy - Schwartz dạng engel, ta có:
\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+b+c+c+a}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\frac{a}{a+b}=\frac{b}{b+c}=\frac{c}{c+a}\)
Cho a,b,c>0 Cmr: \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{a+b+c}{2}\)
Ta có a2/(b+c) + (b+c)/4 >= a
b2/(c+a) + (c+a)/4 >= b
c2/(a+b) + (a+b)/4 >= c
Từ đó ta có a2/(b+c) + b2/(c+a) + c2/(a+b) >= (a+b+c)/2