\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(=a^2x^2+a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2y^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2+c^2z^2\)

\(\left(ax+by+cz\right)^2\)

\(=c^2z^2+2bcyz+2acxz+b^2y^2+2abxy+a^2x^2\)

\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)\(\ge\left(ax+by+cz\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2x^2+a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2y^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2+c^2z^2\)

\(\ge c^2z^2+2bcyz+2acxz+b^2y^2+2abxy+a^2x^2\)

\(\Leftrightarrow a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2\)

\(\ge2bcyz+2acxz+2abxy\)

\(\Leftrightarrow a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2\)\(-2bcyz-2acxz-2abxy\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2y^2-2abxy+b^2x^2\right)+\left(a^2z^2-2acxz+c^2x^2\right)\)

\(+\left(b^2z^2-2bcyz+c^2y^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2+\left(az-cx\right)^2+\left(bz-cy\right)^2\ge0\)

(Điều trên đúng vì \(\hept{\begin{cases}\left(ay-bx\right)^2\ge0\\\left(az-cx\right)^2\ge0\\\left(bz-cy\right)^2\ge0\end{cases}}\))

Vậy\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\) \(\ge\left(ax+by+cz\right)^2\)

Nó là bđt bunyakovsky luôn rồi mà bạn,lên google sẽ có cách chứng minh

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ( Bunhiacopxki )

\(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2\ge a^2x^2+2abxy+b^2y^2\)

\(\Leftrightarrow a^2y^2-2abxy+b^2x^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\)( luôn đúng )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{a}{b}=\frac{x}{y}\)

thanks bạn <3

Giả sử \(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(ax\right)^2+\left(ay\right)^2+\left(bx\right)^2+\left(by\right)^2\ge\left(ax\right)^2+2abxy+\left(by\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(ay\right)^2+\left(bx\right)^2\ge2abxy\)

\(\Leftrightarrow\left(ay\right)^2-2abxy+\left(bx\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

Vậy \(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\)(đpcm)

Đáng lẽ là bé hơn hoặc bằng

(ax + by)² = a²x² + 2axby + b²y² 

(a² + b²)(x² + y²) = a²x² + a²y² + b²x² + b²y²

Ta cần chứng minh:

\(2axby\le b^2x^2+a^2y^2\)'

\(\Leftrightarrow0\le b^2x^2-2aybx+a^2y^2\)

<=> 0 \(\le\)(bx - ay)² (đúng)

Vậy bđt đc chứng minh

Ta có:

\(\left(ay-bx\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow a^2y^2+b^2x^2-2aybx\ge0\)

\(\Rightarrow a^2y^2+b^2x^2\ge2aybx\)

\(\Rightarrow a^2y^2+b^2x^2+a^2x^2+b^2y^2\ge2aybx+a^2x^2+b^2y^2\)

\(\Rightarrow\left(a^2x^2+a^2y^2\right)+\left(b^2y^2+b^2x^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\)

\(\Rightarrow a^2\left(x^2+y^2\right)+b^2\left(y^2+x^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(x^2+y^2\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\)

\(\rightarrowđpcm\)

Lên gg gõ: bđt bunhiacopxki nhé bạn. Chứng minh theo cách đưa về bp.

http://olm.vn/hoi-dap/question/58264.html?auto=1

vào đây thAM khảo nhé.

cách nhanh nhất là nhân tung ra rồi chuyển vế rút gọn là xong

Nhân tung ra chắc mệt muốn chết