Biến đổi tương đương, do mọi hạng tử đều dương nên:

\(\frac{x^2+y^2+2}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\ge\frac{2}{1+xy}\)

\(\Leftrightarrow\left(1+xy\right)\left(x^2+y^2+2\right)\ge2\left(x^2y^2+x^2+y^2+1\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+2+x^3y+xy^3+2xy=2x^2y^2+2x^2+2y^2+2\)

\(\Leftrightarrow x^3y+xy^3-2x^2y^2-\left(x^2-2xy+y^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow xy\left(x-y\right)^2-\left(x-y\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(xy-1\right)\left(x-y\right)^2\ge0\) luôn đúng do \(xy\ge1\Rightarrow xy-1\ge0\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left[{}\begin{matrix}xy=1\\x=y\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\left(x-y\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)

\(\Rightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)(đpcm)

Ta có vì : x,y > 0

và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)

Từ đề bài ta có:

\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}.\left(x+y\right).xy\ge\frac{4}{x+y}.xy\left(x+y\right)\)

Áp dụng đẳng thức Cô-si:

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

Vậy....

đpcm.

a/ \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\)

\(\Leftrightarrow\left(1+xy\right)\left(2+x^2+y^2\right)\ge2\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow2+x^2+y^2+2xy+xy\left(x^2+y^2\right)\ge2+2x^2+2y^2+2x^2y^2\)

\(\Leftrightarrow xy\left(x^2+y^2-2xy\right)-\left(x^2+y^2-2xy\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(xy-1\right)\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

b/ Để biểu thức xác định \(\Rightarrow x\ne0\Rightarrow x^2\ge1\)

\(4=\frac{y^2}{4}+x^2+\frac{1}{x^2}+x^2\ge\frac{y^2}{4}+2\sqrt{\frac{x^2}{x^2}}+1\ge\frac{y^2}{4}+3\)

\(\Rightarrow\frac{y^2}{4}\le1\Rightarrow y^2\le4\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y^2=0\\y^2=1\\y^2=4\end{matrix}\right.\)

\(y^2=0\Rightarrow2x^2+\frac{1}{x^2}=4\Rightarrow2x^4-4x^2+1=0\) (ko tồn tại x nguyên tm)

\(y^2=1\Rightarrow2x^2+\frac{1}{x^2}=3\Rightarrow2x^4-3x^2+1=0\Rightarrow x^2=1\)

\(\Rightarrow\left(x;y\right)=...\)

\(y^2=4\Rightarrow2x^2+\frac{1}{x^2}=0\Rightarrow\) ko tồn tại x thỏa mãn

1 ) Đề bài > not \(\ge\)

Giả sử đpcm là đúng , khi đó , ta có :

\(x^2+y^2+8>xy+2x+2y\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+16>2xy+4x+4y\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-4x+4\right)+\left(y^2-4y+4\right)+8>0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2+8>0\left(1\right)\)

Do \(\left(x-y\right)^2+\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2+8\ge8>0\forall x;y\left(2\right)\)

Từ ( 1 ) ; ( 2 ) => Điều giả sử là đúng => đpcm

2 ) ĐK : a ; b ; c không âm

Áp dụng BĐT phụ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\) ( cái này bạn áp dụng BĐT Cô - si để c/m ) , ta có :

\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{9}{a+b+b+c+c+a}=\frac{9}{6.2}=\frac{3}{4}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=2\)

3 ) Áp dụng BĐT Cô - si cho các cặp số không âm , ta có :

\(x^2+y^2\ge2xy;y^2+z^2\ge2yz;x^2+z^2\ge2xz\)

\(\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2xz\left(1\right)\)

\(x^2+1\ge2x;y^2+1\ge2y;z^2+1\ge2z\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+3\ge2x+2y+2z\left(2\right)\)

Từ ( 1 ) ; ( 2 ) , ta có : \(2x^2+2y^2+2z^2+x^2+y^2+z^2+3\ge2xy+2yz+2xz+2x+2y+2z\)

\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2+1\right)\ge2\left(x+y+z+2xy+2xz+2yz\right)=2.6=12\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+1\ge4\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Ta có: \(VT-VP=\frac{\left(y-x\right)^2\left(xy-1\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)(đúng với \(xy\ge1\))

Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1

vì x+y+z=1nên

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\)\(\frac{x+y+z}{x}+\frac{x+y+z}{y}+\frac{x+y+z}{z}\)\(=3+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)\)=\(3+\frac{x^2+y^2}{xy}+\frac{y^2+z^2}{yz}+\frac{x^2+z^2}{xz}\)

nen \(\frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{yz}{y^2+z^2}+\frac{xz}{x^2+z^2}+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\) =\(\left(\frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2}{4xy}\right)+\left(\frac{yz}{y^2+z^2}+\frac{y^2+z^2}{4yz}\right)+\left(\frac{xz}{x^2+z^2}+\frac{x^2+z^2}{xz}\right)+\frac{3}{4}\)

\(\ge2.\frac{1}{2}+\frac{2.1}{2}+\frac{2.1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{15}{4}\)(dpcm)

dau = xay ra khi x=y=z=1/3

Đây mà là tiếng việt lớp 3 à

Cái này biến đổi tương đương nhé, t có mỗi cách đó !

ta có BĐT cần chứng minh 

\(\Leftrightarrow\left(1+xy\right)\left(1+x^2\right)+\left(1+xy\right)\left(1+y^2\right)\ge2\left(1+y^2\right)\left(1+x^2\right)\)

\(\Leftrightarrow1+x^2+xy+x^3y+1+y^2+xy+y^3\ge2\left(1+x^2+y^2+x^2y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow2xy+x^3y+xy^3-x^2-y^2-2x^2y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow xy\left(x-y\right)^2-\left(x-y\right)^2\ge0\Leftrightarrow\left(xy-1\right)\left(x-y\right)^2\ge0\)

bđt này luôn đúng với \(x,y\ge1\)

dấu = xảy ra <=> x=y >=1

^_^

chọn của vũ tiền châu nhé

nhớ đêý

cảm ơn 

t i c k nhé