Hình bạn tự vẽ nha.

a, ABCD là hình vuông \(\Rightarrow AB=BC=CD=AD\)

Ta có: \(\hat{IAD}+\hat{DAE}=90^o\)

\(\hat{BAE}+\hat{DAE}=90^o\)

\(\Rightarrow \hat{IAD} =\hat{BAE}\)

Xét \(\Delta ADI\) và \(\Delta ABE\) có:

\(\hat{ADI}=\hat{ABE}=90^o\)

\(AD=AB\left(cmt\right)\)

\(\hat{IAD}=\hat{BAE}(cmt)\)

\(\Rightarrow\Delta ADI=\Delta ABE\left(g-c-g\right)\Rightarrow AI=AE\)

b, \(\Delta AIK\) có: \(\hat{IAK}=90^o\), \(AD\perp IK\)

\(\Rightarrow AD.IK=AI.AK\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông) mà \(AI=AE\left(cmt\right)\Rightarrow AD.IK=AE.AK\)

c, \(\Delta AIK\) có: \(\hat{IAK}=90^o\), \(AD\perp IK\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{AD^2}=\dfrac{1}{AI^2}+\dfrac{1}{AK^2}\)(hệ thức lượng trong tam giác vuông) mà \(AI=AE\left(cmt\right)\Rightarrow\dfrac{1}{AD^2}=\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AK^2}\) mà hình vuông ABCD không đổi \(\Rightarrow\) AD không đổi\(\Rightarrow\dfrac{1}{AD^2}=\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AK^2}\) không đổi

Vậy \(\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AK^2}\) không đổi khi E thay đổi trên cạnh BC

Hai câu cuối í ẹ chưa nghĩ ra, để sau.

a)Xét \(\Delta APD\) và \(\Delta AEB\) có:

\(\widehat{ADP}=\widehat{ABE}=90^o\)

AD = AB ( hvABCD)

\(\widehat{PAD}=\widehat{EAB}\) (cùng phụ \(\widehat{DAE}\))

=> \(\Delta APD\) = \(\Delta AEB\)  (gcg)

=>AP=AE

mà \(\widehat{PAE}=90^o\left(gt\right)\)

=>\(\Delta APE\) vuông cân tại A

b) Xét \(\Delta APF\) vuông tại A có:

\(\dfrac{1}{AP^2}+\dfrac{1}{AF^2}=\dfrac{1}{AD^2}\) ( hệ thức lượng trong tam giác vuông )

mà AP=AE ; AD=AB

=>\(\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AF^2}=\dfrac{1}{AB^2}\)

a, HS tự chứng minh

b, HS tự chứng minh

c, Tứ giác ACFK nội tiếp (I) với I là trung điểm của KF => BD là trung trực AC phải đi qua I

d, HS tự chứng minh

a) Xét \(\Delta\)ABE và \(\Delta\)ADF:  AB=AD; ^ABE=^ADF=90⁰;  ^BAE=^DAF (Cùng phụ với ^DAE)

=> \(\Delta\)ABE=\(\Delta\)ADF (g.c.g) => AE=AF (2 cạnh tương ứng)

=> \(\Delta\)AEF vuông cân tại A (Do ^EAF=90⁰)

=> Trung tuyến AI của \(\Delta\)AEF đồng thòi là đường trung trực của EF

Ta thấy 2 điểm K và G nằm trên AI nên GE=GF; KE=KF (1)

Lại có: GE//AB hay GE//CD => ^GEF=^KFE. Mà ^KFE=^KEF (Do tam giác EKF cân tại K)

=> ^GEF=^KEF => EF hay EI là đường phân giác ^GEK

Xét \(\Delta\)EGK: EI\(\perp\)GK; EI là phân giác ^GEK => \(\Delta\)EGK cân tại E => EG=EK (2)

Từ (1) và (2) => GE=GF=KE=KF => Tứ giác EKFG là hình thoi (đpcm).

b) Ta có: EF\(\perp\)AK tại I (Dễ chứng minh) => \(\Delta\)FIK ~ \(\Delta\)FCE (g.g)

=> \(\frac{FI}{FC}=\frac{FK}{FE}\)=> FK.FC = FI.FE

Vì tam giác AEF vuông tân tại A và có đường trung tuyến AI => AI=FI

=> FK.FC=AI.EF (đpcm).

c) C_ECK= CE+CK+EK = CE+CK+FK (Do EK=FK) = CK+CE+DK+DF

Ta có: \(\Delta\)ABE = \(\Delta\)ADF (cmt) => BE=DF => C_ECK=CK+CE+DK+BE=CD+BC

Mà CD và BC không đổi => C_ECK không đổi khi E thay đổi trên BC (đpcm). 

KO HIỂU '-'

no biết

đề khó nhỉ