Cho hàm số f(x) liên tục trên R thoả mãn f(0)=0 và  | f ( x ) - f ( y ) | ≤ | sin x - sin y | với mọi x , y ∈ R . Giá trị lớn nhất của tích phân  ∫ 0 π 2 ( ( f ( x ) ) 2 - f ( x ) ) d x bằng

A.  π 4 +1

B.  π 8

C.  3 π 8

D. 1- π 4

Cho hàm số f (x) có đạo hàm cấp hai liên tục trên đoạn [0;1] thoả mãn  [ f ' ( x ) ] 2 + f ( x ) f '' ( x ) ≥ 1 , ∀ x ∈ [ 0 ; 1 ] và f 2 ( 0 ) + f ( 0 ) . f ' ( 0 ) = 3 2 . Giá trị nhỏ nhất của tích phân  ∫ 0 1 f 2 ( x ) d x bằng

A.  5 2

B.  1 2

C.  11 6

D.  7 2

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [0;1] thoả mãn ∫ 0 1 x 2 f ( x ) d x   =   0  và m a x [ 0 ; 1 ] f ( x )   =   6  Giá trị lớn nhất của tích phân ∫ 0 1 x 3 f ( x ) d x  bằng

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R thỏa mãn f(1)=1 và ∫ 0 1 f ( x ) d x = 1 3 . Tính tích phân I = ∫ 0 π 2 sin 2 x f ' ( sin x ) d x

A.  I = 4 3

B.  I = 8 3

C.  I = - 4 3

D.  I = - 8 3

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn  và ∫ 1 2 f ( x - 1 ) d x = 3 và f(1)=4. Tích phân ∫ 0 1 x 3 f ' ( x 2 ) d x  bằng

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn f(1)=0 và ∫ 0 1 [ f ' ( x ) ] 2 d x = ∫ 0 1 ( x + 1 ) e x f ( x ) d x = e 2 - 1 4  Tính tích phân  I= I = ∫ 0 1 f ( x ) d x

A. I=2-e

B. I=e-2

C. I=e/2

D.   I = e - 1 2

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;1] thoả mãn 2f(x)+3f(1-x) = 1 - x 2 , ∀ x ∈ [ 0 ; 1 ] . Tích phân  ∫ 0 1 f ( x ) d x bằng

A.  π 8

B.  π 24

C.  π 12

D.  π 20

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;1] thoả mãn với mọi  x , y , α , β ∈ [ 0 ; 1 ] và  α 2 + β 2 > 0 ta có α f ( x ) + β f ( y ) ≥ ( α + β ) f α x + β y α + β . Biết f(0)=0, ∫ 0 1 2 f ( x ) d x = 2 . Giá trị nhỏ nhất của tích phân  ∫ 0 1 f ( x ) d x bằng

A. 8.

B. 4.

C. 2 2 .

D. 2.

Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn f(0)=1; ∫ 0 1 ( 1 - x ) 2 f ' ( x ) d x = 1 3 . Giá trị nhỏ nhất của tích phân  bằng ∫ 0 1 f 2 ( x ) d x  bằng