Ta có bài toán tổng quát sau:Chứng minh rằng tổng \(A=\frac{n+1}{n^2+1}+\frac{n+1}{n^2+2}+....+\frac{n+1}{n^2+n}\)(n số hạng và n>1) không phải là số nguyên dương ta có:

\(1=\frac{n+1}{n^2+1}+\frac{n+1}{n^2+2}+...+\frac{n+1}{n^2+3}< \frac{n+1}{n^2+1}+\frac{n+1}{n^2+2}+....+\frac{n+1}{n^2+n}< \frac{n+1}{n^2}+\frac{n+1}{n^2}\)\(+....+\frac{n+1}{n^2}=2\)

Do đó A không phải là số nguyên dương với n=2019 thì ta có bài toán đã cho

thiếu đề :(

Sai đề rồi.

Đề phải là: \(\frac{1}{1011}+\frac{1}{1012}+\frac{1}{1013}+...+\frac{1}{2020}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2019}-\frac{1}{2020}\)

Giải như sau: 

\(\frac{1}{1011}+\frac{1}{1012}+\frac{1}{1013}+...+\frac{1}{2020}\)

\(=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2020}\right)-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{1010}\right)\)

\(=\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2019}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{2020}\right)\)

\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2019}-\frac{1}{2020}\left(đpcm\right).\)

a: \(\dfrac{3}{4}A=\dfrac{3}{4}-\left(\dfrac{3}{4}\right)^2+...+\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2021}\)

=>\(\dfrac{7}{4}\cdot A=\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2021}+1\)

=>\(A\cdot\dfrac{7}{4}=\dfrac{3^{2021}+4^{2021}}{4^{2021}}\)

=>\(A=\dfrac{3^{2021}+4^{2021}}{4^{2020}\cdot7}\)

b: Vì 3^2021+4^2021 ko chia hết cho 4^2020*7 nên A ko là số nguyên

\(\text{ ta có:}x=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{2020^2}\text{ thấy ngay }x>0;x< \frac{1}{1.2}+...+\frac{1}{2019.2020}\)

\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-...-\frac{1}{2020}=1-\frac{1}{2020}< 1\text{ nên có đpcm}\)

đpcm là j vậy

đpcm là j vậy

nhưng đây bài cho là trừ mà,có phải cộng đâu mà cậu cộng

Ta có \(n^2+\left(n+1\right)^2>2n\left(n+1\right)\)

=>\(\frac{1}{n^2+\left(n+1\right)^2}< \frac{1}{2}\left(\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\)

Áp dụng ta có \(\frac{1}{5}=\frac{1}{1^2+2^2}< \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)\)

                        \(\frac{1}{13}=\frac{1}{2^2+3^2}< \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)\)

                         ..................................................................

                         \(\frac{1}{2019^2+2020^2}< \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2019}-\frac{1}{2020}\right)\)

=> \(VT< \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-...+\frac{1}{2019}-\frac{1}{2020}\right)=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2020}\right)< \frac{1}{2}\)(ĐPCM)

Câu hỏi của bạn sao ko thấy quy luật dãy nhỉ ?

mình đánh nhầm nhé sorry

1/3 thành 1/13

::((

so hard

\(A=\dfrac{1}{3}+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}\right)^3+...+\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2019}+\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2020}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{3}A=\left(\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}\right)^3+...+\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2021}\)

\(\Rightarrow\dfrac{2}{3}A=A-\dfrac{1}{3}A=\dfrac{1}{3}+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}\right)^3+...+\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2020}-\left(\dfrac{1}{3}\right)^2-\left(\dfrac{1}{3}\right)^3-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2021}=\dfrac{1}{3}-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2021}< \dfrac{1}{3}\)

\(\Rightarrow A< \dfrac{1}{2}\)