VTPT: vecto pháp tuyến

a) ✽ pt AB:

ta có \(\overrightarrow{AB}\)= (-1;-5) nên VTPT của AB là: (5;-1). Mà A(2;3) ϵ AB

nên pt AB: 5(x-2) -1.(y-3)=0 ⇔ 5x - y -7=0

✽ pt BC:

Ta có \(\overrightarrow{BC}\)= (3;6) nên VTPT của BC là : (6;-3). Mà B(1;-2) ϵ BC

nên pt BC: 6(x-1) -3(y+2)=0 ⇔ 2x -y -4=0

✽ pt AC:

ta có \(\overrightarrow{AC}=\left(2;1\right)\)nên VTPT của AC là (-1;2). Mà A(2;3) ϵ AC

nên pt AC: - (x-2) +2(y-3)=0 ⇔ -x +2y -4=0

b)pt AH:

AH có VTPT là \(\overrightarrow{BC}\)= (3;6) và qua A(2;3) nên ptAH: 3(x-2)+6(y-3)=0

⇔ x +2y -4=0

Tọa độ H là nghiệm của hệ pt \(\left\{{}\begin{matrix}\text{2x -y -4=0}\\x+2y-4=0\end{matrix}\right.\)⇔\(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{12}{5}\\y=\frac{4}{5}\end{matrix}\right.\)

H(\(\frac{12}{5}\);\(\frac{4}{5}\)) ⇒ AH = \(\sqrt{\left(\frac{12}{5}-2\right)^2+\left(\frac{4}{5}-3\right)^2}\)=\(\sqrt{5}\)

BC = \(\sqrt{3^2+6^2}\)=\(3\sqrt{5}\)

S_ABC= 0,5.\(\sqrt{5}\).\(3\sqrt{5}\)=7,5 (đvdt)

c) Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ pt: \(\left\{{}\begin{matrix}\text{-x +2y -4=0}\\x+y+1=0\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=1\end{matrix}\right.\)

d) cách 1: ta có d' // AB nên d': 5x - y + c=0 (c≠-7)

mà B(1;-2) ϵ d' nên 5 + 2 +c =0 ⇔ c = -7 (loại)

Vậy không có pt đường thẳng nào đi qua B và // với AB

cách 2 (dùng tiên đề Ơ-clit)

ta có B ϵ d', B ϵ AB mà d' // AB nên d' \(\equiv\) AB

( qua 1 điểm nằm ngoài một đường thẳng, có 1 và chỉ 1 đường thẳng song song với đường thẳng đã cho)

điều này mâu thuẫn với đề bài (d'//AB) do đó không có pt d'

\(\overrightarrow{BC}=\left(-4;-4\right)=-4\left(1;1\right)\)

Phương trình BC: \(1\left(x-4\right)-1\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow x-y-3=0\)

Phương trình AH qua A và vuông góc BC:

\(1\left(x-1\right)+1\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow x+y-3=0\)

H là giao điểm AH và BC nên tọa độ thỏa mãn: \(\left\{{}\begin{matrix}x-y-3=0\\x+y-3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow H\left(3;0\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AH}=\left(2;-2\right)\Rightarrow AH=2\sqrt{2}\)

a: vecto AB=(-7;1)

vecto AC=(1;-3)

vecto BC=(8;-4)

b: \(AB=\sqrt{\left(-7\right)^2+1^2}=5\sqrt{2}\)

\(AC=\sqrt{1^2+\left(-3\right)^2}=\sqrt{10}\)

\(BC=\sqrt{8^2+\left(-4\right)^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\)

a: Tọa độ trọng tâm là:

x=(1+2+0)/3=1 và y=(3+1+3)/3=7/3

c: \(d\left(A;d\right)=\dfrac{\left|1\cdot1+3\cdot\left(-1\right)+1\right|}{\sqrt{1^2+\left(-1\right)^2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

uBC(6;0)=>nAH(0,6) ( vì AH vuông góc với BC)

PTTQ của đg thẳng AH đi qua A là 

\(0\left(x-3\right)+6\left(y-0\right)=0< =>6y=0\)

b)\(d\left(C;AH\right)=R=\dfrac{\left|6.1\right|}{\sqrt[]{0^2+6^2}}=1\)

PT đg tròn tầm C tiếp xúc AH là 

\(\left(x-4\right)^2+\left(y-1\right)^2=1^2\)

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {4;1} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {3;3} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( { - 1;2} \right)\)

+) Đường thẳng AB nhận vectơ \(\overrightarrow {AB}  = \left( {4;1} \right)\)làm phương trình chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1; - 4} \right)\) và đi qua điểm \(A(1;1)\), suy ra ta có phương trình tổng quát của đường thẳng AB là:

\(\left( {x - 1} \right) - 4\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 4y + 3 = 0\)

Độ dài đường cao kẻ từ C chính là khoảng cách từ điểm C  đến đường thẳng AB

\(d\left( {C,AB} \right) = \frac{{\left| {4 - 4.4 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {4^2}} }} = \frac{{9\sqrt {17} }}{{17}}\)

+) Đường thẳng BC nhận vectơ \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 1;2} \right)\)làm phương trình chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2;1} \right)\) và đi qua điểm \(B(5;2)\), suy ra ta có phương trình tổng quát của đường thẳng BC là:

\(2\left( {x - 5} \right) + \left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 12 = 0\)

Độ dài đường cao kẻ từ A chính là khoảng cách từ điểm A  đến đường thẳng BC

\(d\left( {A,BC} \right) = \frac{{\left| {2.1 + 1 - 12} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \frac{{9\sqrt 5 }}{5}\)

+) Đường thẳng AC  nhận vectơ \(\overrightarrow {AC}  = \left( {3;3} \right)\)làm phương trình chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_3}}  = \left( {1; - 1} \right)\) và đi qua điểm \(A(1;1)\), suy ra ta có phương trình tổng quát của đường thẳng AC  là:

\(\left( {x - 1} \right) - \left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y = 0\)

Độ dài đường cao kẻ từ B chính là khoảng cách từ điểm B  đến đường thẳng AC

\(d\left( {B,AC} \right) = \frac{{\left| {5 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\)

dùng công thức : căn của (x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 là ra khoảng cách giữa 2 điểm, tìm 3 khoảng cách rồi suy ra tam giác đều