Bài 1:

Theo BĐT AM-GM có :$(x+y+1)(x^2+y^2)+\dfrac{4}{x+y}\geq (x+y+1).2xy+\dfrac{4}{x+y}=2(x+y+1)+\dfrac{4}{x+y}=(x+y)+(x+y)+\dfrac{4}{x+y}+2\geq 2\sqrt{xy}+2\sqrt{(x+y).\dfrac{4}{x+y}}+2=2+4+2=8$(đpcm)

Dấu \(=\) xảy ra khi \(x=y, xy=1\) và \(x+y=2\) hay \(x=y=1\)

Bài 1:

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:

\(x^2+y^2\geq 2xy=2\Rightarrow (x+y+1)(x^2+y^2)+\frac{4}{x+y}\geq 2(x+y+1)+\frac{4}{x+y}(1)\)

Tiếp tục áp dụng BĐT Cô-si:

\(2(x+y+1)+\frac{4}{x+y}=(x+y+2)+[(x+y)+\frac{4}{x+y}]\)

\(\geq (2\sqrt{xy}+2)+2\sqrt{(x+y).\frac{4}{x+y}}=(2+2)+4=8(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow (x+y+1)(x^2+y^2)+\frac{4}{x+y}\geq 8\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=1$

Bài 2:

Vì $xyz=1$ nên:

\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}+\frac{3}{x+y+z}=\frac{z+x+y}{xyz}+\frac{3}{x+y+z}=x+y+z+\frac{3}{x+y+z}\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:
\(\frac{x+y+z}{3}+\frac{3}{x+y+z}\geq 2(1)\)

\(\frac{2}{3}(x+y+z)\geq \frac{2}{3}.3\sqrt[3]{xyz}=\frac{2}{3}.3=2(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}+\frac{3}{x+y+z}\geq 2+2=4\)

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$

\(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}\ge\frac{9}{x^2+2yz+y^2+2xz+z^2+2xy}=\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}=9\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

thế nào nhỉ ( : 
Từ giả thiết => 1/x +1/y +1/z <= 1 
A/d  BĐT 1/(x +y+z) <= 1/9 ( 1/x + 1/y +1/z )  và 1/(x+y) <= 1/4 ( 1/x +1/y )
=> 1/(4x + y+z) = 1/(x+x + y+x + z+x) <= 1/9 ( 1/2x + 1/(y+x) + 1/(z+x) ) <= 1/9 ( 1/(2x)  + 1/4(1/y +1/x) + 1/4(1/x + 1/z)) 
Tương tự cộng lại và sử dụng 1/x +1/y +1/z <= 1
được P <= 1/6(1/x +1/y +1/z) <= 1/6 ĐPCM.

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=3\)

Khi đó \(\frac{1}{4x^2+y^2+z^2}=\frac{1}{3x^2+x^2+y^2+z^2}\le\frac{1}{3x^2+3}\)

Viết lại BĐT cần chứng minh như sau:

\(\frac{1}{3x^2+3}+\frac{1}{3y^2+3}+\frac{1}{3z^2+3}\le\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{1}{z^2+1}\le\frac{3}{2}\)

Ta có BĐT phụ \(\frac{1}{x^2+1}\le-\frac{1}{2}x+1\)

\(\Leftrightarrow-\frac{x\left(x-1\right)^2}{2\left(x^2+1\right)}\ge0\) *luôn đúng*

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:

\(\frac{1}{y^2+1}\le-\frac{1}{2}y+1;\frac{1}{z^2+1}\le-\frac{1}{2}z+1\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(VT\le-\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)+3=-\frac{3}{2}+3=\frac{3}{2}=VP\)

Xảy ra khi x=y=z=1

Cho mih hỏi bđt phụ đó là sao, có thể CM giùm mih đc hok

Xài BĐT Cauchy Schwarz ta dễ có:

\(\frac{9}{4x^2+y^2+z^2}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2x^2+\left(x^2+y^2\right)+\left(x^2+z^2\right)}\le\frac{x^2}{2x^2}+\frac{y^2}{x^2+y^2}+\frac{z^2}{x^2+z^2}\)

\(\Rightarrow\frac{9}{4x^2+y^2+z^2}\le\frac{1}{2}+\frac{y^2}{x^2+y^2}+\frac{z^2}{x^2+z^2}\)

Tương tự:

\(\frac{9}{4y^2+z^2+x^2}\le\frac{1}{2}+\frac{x^2}{x^2+y^2}+\frac{z^2}{y^2+z^2};\frac{9}{4z^2+x^2+y^2}\le\frac{1}{2}+\frac{x^2}{x^2+z^2}+\frac{y^2}{y^2+z^2}\)

Cộng lại ta có được:

\(9LHS\le\frac{3}{2}+3=\frac{9}{2}\Rightarrow LHS\le\frac{1}{2}\) ( ĐPCM )

\(\hept{\begin{cases}x+z=a\\y+z=b\end{cases}}\); \(x-y=\left(x+z\right)-\left(y+z\right)=a-b\)

\(ab=1\Rightarrow b=\frac{1}{a}\)

\(A=VT=\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{\left(a-\frac{1}{a}\right)^2}+\frac{1}{a^2}+a^2\)

\(=\frac{a^2}{\left(a^2-1\right)^2}+a^2+\frac{1}{a^2}\)

\(t=a^2>0\)

\(A=\frac{t}{\left(t-1\right)^2}+t+\frac{1}{t}\)

\(A-4=\frac{\left(t^2-3t+1\right)^2}{t\left(t-1\right)^2}\ge0\)

\(\Rightarrow A\ge4\)

Dấu bằng xảy ra khi \(t=a^2=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\)\(\Leftrightarrow a=\sqrt{\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=x+z=\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\\b=y+z=\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\end{cases}}\) và hoán vị còn lại 

Hệ trên có vô số nghiệm, chẳng hạn

\(\hept{\begin{cases}z=\frac{1}{10}\\x=\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}-\frac{1}{10}\\y=\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}-\frac{1}{10}\end{cases}}\)

giúp với.

Chào anh! Em mới học lớp 7 nên không biết làm. Nếu là toán lớp 9 thì anh nên đăng ký tài khoản ở h, sẽ có câu trả lời nhanh hơn đấy. Chúc anh học tốt!

P=1/(x+y)(x^2-xy+y^2)+1/xy

P=1/(x^2-xy+y^2)+1/xy ( vĩ+y=1)

P=1/(x^2-xy+y^2)+3/xy

Đến đây áp dụng bất đẳng thức Svac có

P>=(√3+1)^2/(x+y)^2

P>=(√3+1)^2 (vì x+y=1)

hay P>=4+2√3(đpcm)

gọi A là VT

Ta có : \(A=\left[\frac{1}{2}\left(\frac{x^{10}}{y^2}+\frac{y^{10}}{x^2}\right)-x^4y^4\right]+\left[\frac{1}{4}\left(x^{16}+y^{16}\right)-2x^2y^2\right]-1\)

Áp dụng BĐT Cô-si,ta có :

\(\frac{1}{2}\left(\frac{x^{10}}{y^2}+\frac{y^{10}}{x^2}\right)\ge\frac{1}{2}2\sqrt{\frac{x^{10}}{y^2}.\frac{y^{10}}{x^2}}=x^4y^4\Rightarrow\frac{1}{2}\left(\frac{x^{10}}{y^2}+\frac{y^{10}}{x^2}\right)-x^4y^4\ge0\)

\(\frac{x^{16}+y^{16}}{4}\ge\frac{x^8y^8}{2}=\left(\frac{x^8y^8}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)-\frac{3}{2}\ge4\sqrt[4]{\frac{x^8y^8}{16}}-\frac{3}{2}==2x^2y^2-\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{4}\left(x^{16}+y^{16}\right)-2x^2y^2\ge\frac{-3}{2}\)

Từ đó ta có : \(A\ge0-\frac{3}{2}-1=\frac{-5}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\x^2y^2=1\end{cases}\Leftrightarrow x=y=\pm1}\)

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)  được

\(VT\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge4\)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = 1/2

Vậy ...........

Cũng ko hẳn là cách khác nhưng xem cho vui v :) 

\(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}=\frac{1}{x\left(x+y\right)}+\frac{1}{y\left(x+y\right)}\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\ge4\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=\frac{1}{2}\)