Ta có \(\left(a+b+1\right).\left(a^2+b^2\right)+\frac{4}{a+b}\)

\(\ge\left(a+b+1\right).2ab+\frac{4}{a+b}\)

\(=2.\left(a+b\right)+2+\frac{4}{a+b}\)

\(=a+b+2+a+b+\frac{4}{a+b}\)

\(\ge2.\sqrt{a.b}+2+2.\sqrt{\left(a+b\right).\frac{4}{a+b}}=2+2+2\sqrt{4}\)

\(=2+2+4=8\)

Vậy\(\left(a+b+1\right).\left(a^2+b^2\right)+\frac{4}{a+b}\ge8\)với ab=1

đề đúng hay sai vậy

Đề đúng bạn ơi

a³+b³+ab=(a+b)³-3ab(a+b)+ab=(a+b)³-ab(3a+3b-1)

=(a+b)³-ab(2a+4b)

=(a+b)³-2ab(a+2b)             (đề bài sai phải không????)

Ta có : \(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\ge9\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+1}{a}.\frac{b+1}{b}\ge9\Leftrightarrow ab+a+b+1\ge9ab\) ( vì \(ab>0\) )

\(\Leftrightarrow a+b+1\ge8ab\Leftrightarrow2\ge8ab\) ( vì \(a+b=1\) )

\(\Leftrightarrow1\ge4ab\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\) ( Vì \(a+b=1\) ) \(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(2\right)\)

BĐT ( 2 ) đúng , mà các phép biến đổi trê tương đương , vây BĐT ( 1 ) được chứng minh . Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi \(a=b\)

Câu a bạn giản ước đì rồi táchr a nhé

b) Ta có (x+y)²>=0

=>x²+y²+2xy>=0

=>x²+y²>= -2xy

=> x²+y²+x²+y² >=x²+y²-2xy=(x-y)²=1

=>2x²+2y²>=1

=>2x²+2y²+2>=3

=> \(\frac{2x^2+2y^2+2}{4}>=\frac{3}{4}\)

=>\(\frac{x^2+y^2+1}{2}>=\frac{3}{4}\)

Mà (x-y)²=1 => x²+y²-2xy=1

=>x²+y²-1=2xy

=.\(xy=\frac{x^2+y^2-1}{2}\) 

=> \(xy+1=\frac{x^2+y^2-1}{2}+1=\frac{x^2+y^2+1}{2}\)

=> xy+1>=3/4

\(a+b+c=1\) 

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^3=1\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=1\)

\(\Leftrightarrow1+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=1\)'

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b=0\\b+c=0\\c+a=0\end{matrix}\right.\)

 Không mất tính tổng quát, giả sử \(a+b=0\), các trường hợp còn lại làm tương tự.

 Khi đó từ \(a+b+c=1\) suy ra \(c=1\) (thỏa mãn). Thế thì \(T=0^{2023}+0^{2023}+1^{2023}=1\). 

 Như vậy \(T=1\)

\(a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}=a^{102}+b^{102}\)

\(\Rightarrow\left(a^{100}+b^{100}\right)\left(a^{102}+b^{102}\right)=\left(a^{101}+b^{101}\right)^2\)

\(\Rightarrow a^{202}+b^{202}+a^{100}b^{102}+a^{102}b^{100}=a^{202}+b^{202}+2a^{101}b^{101}\)

\(\Rightarrow a^{100}b^{100}\left(a^2+b^2\right)=a^{100}b^{100}\left(2ab\right)\)

\(\Rightarrow a^2+b^2=2ab\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2=0\)

\(\Rightarrow a=b\)

Thế vào \(a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}\)

\(\Rightarrow a^{100}+a^{100}=a^{101}+a^{101}\)

\(\Rightarrow2a^{100}\left(a-1\right)=0\)

\(\Rightarrow a=1\Rightarrow b=1\)

\(\Rightarrow...\)