Question

Cho hai số a,b thõa mãn điều kiện a+b=1. CMR: a³+b³+ab\(\ge\)\(\frac {1}{2}\)

Answer 1

Ta có :

\(a^3+b^3+ab=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+ab=1^3-3ab+ab=1-2ab\)

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow1\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow\sqrt{ab}\le\frac{1}{2}\Rightarrow ab\le\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow-ab\ge\frac{-1}{4}\Rightarrow-2ab\ge-\frac{1}{2}\Rightarrow1-2ab\ge\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+ab\ge\frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)

Answer 2

Thanhs.

Answer 3

bui huyen  Cô- si chỉ dùng cho 2 số dương thôi, chắc gì a và b đã dương

Answer 4

à vâng e nhầm ạ

Anh có cách khác ko ạ?

Answer 5

Ta có: a³ + b³ + ab= (a + b)(a² - ab + b²) + ab

=a² + b²   ( vì a + b=1)

Theo đề bài a+ b= 1 nên b= 1 - a. Thay vào biểu thức trên, ta được:

     a² + (1 - a)² = 2a² - 2a + 1=2(a² - a) + 1

=2(a² - a + 1/4) + 1/2=2(a - 1/2)² + 1/2

Vì 2(a - 1/2)² >=0 nên 2(a - 1/2)² + 1/2 >= 1/2

=> a³ + b³ + ab >= 1/2

Answer 6

\(a^3+b^3+ab=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+ab=a^2+b^2\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

\(\left(1+1\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2-ab\ge\frac{1}{2}\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=1/2