Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Thanh Thảo

Cho các số dương a và b thõa mãn điều kiện \(a+b=1\)

CMR : \(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\ge9\)

Võ Đông Anh Tuấn
26 tháng 10 2016 lúc 9:08

Ta có : \(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\ge9\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+1}{a}.\frac{b+1}{b}\ge9\Leftrightarrow ab+a+b+1\ge9ab\) ( vì \(ab>0\) )

\(\Leftrightarrow a+b+1\ge8ab\Leftrightarrow2\ge8ab\) ( vì \(a+b=1\) )

\(\Leftrightarrow1\ge4ab\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\) ( Vì \(a+b=1\) ) \(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(2\right)\)

BĐT ( 2 ) đúng , mà các phép biến đổi trê tương đương , vây BĐT ( 1 ) được chứng minh . Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi \(a=b\)


Các câu hỏi tương tự
Gallavich
Xem chi tiết
Linh nè
Xem chi tiết
Lunox Butterfly Seraphim
Xem chi tiết
Qynh Nqa
Xem chi tiết
cao mạnh lợi
Xem chi tiết
Bướm Đêm Sát Thủ
Xem chi tiết
Thỏ bông
Xem chi tiết
Trần Anh Thơ
Xem chi tiết
Lunox Butterfly Seraphim
Xem chi tiết