Vì \(4x^3+14x^2+9x-6\) là số chính phương nên ta có \(4x^3+14x^2+9x-6=k^2\) với \(k\inℕ\)
Ta có \(4x^3+14x^2+9x-6=\left(x+2\right)\left(4x^2+6x-3\right)\)nên ta có \(\left(x+2\right)\left(4x^2+6x-3\right)=k^2\)

Đặt \(\left(x+2;4x^2+6x-3\right)=d\)với \(d\inℕ^∗\)
Ta có \(x+2⋮d\Rightarrow\left(x+2\right)\left(4x-2\right)⋮d\Rightarrow4x^2+6x-4⋮d\)
Ta lại có \(4x^2+6x-3⋮d\Rightarrow\left(4x^2+6x-3\right)-\left(4x^2+6x-4\right)=1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\)(Vì \(d\inℕ^∗\))
Vậy \(\left(x+2;4x^2+6x-3\right)=1\)
mà \(\left(x+2\right)\left(4x^2+6x-3\right)=k^2\)nên ta có:

x + 2 và 4x² + 6x - 3 là số chính phương\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+2=a^2\\4x^2+6x-3=b^2\end{cases}}\left(a,b\right)\inℕ^∗\)

Vì x > 0 nên ta có \(4x^2< b^2< 4x^2+12x+9\Leftrightarrow\left(2x\right)^2< b^2< \left(2x+3\right)^2\)
Vì b lẻ nên \(b^2=\left(2x+1\right)^2\Leftrightarrow4x^2+6x-3=4x^2+4x+1\)

\(\Leftrightarrow2x=4\Leftrightarrow x=2\)
Vậy x = 2 thì \(4x^3+14x^2+9x-6\)là số chính phương

Đây nha bn

 http://olm.vn/hoi-dap/detail/97831197795.html

x=2 thì biểu thức = 100 = 10²

Ta có : 4x³ + 14x² + 9x - 6 = ( x + 2 ) ( 4x² + 6x - 3 )

Mà ( x + 2 ; 4x² + 6x - 3 ) = 1 ( tự c/m ) nên để 4x³ + 14x² + 9x - 6 là SCP

\(\Rightarrow\)x + 2 và 4x² + 6x - 3 là SCP

đặt x + 2 = a² ; 4x² + 6x - 3 = b²  \(\Rightarrow\)x = a² - 2

thay vào ta có :

4 ( a² - 2 )² + 6 ( a² - 2 ) - 3 = b² hay 4a⁴ - 10a² + 1= b²

\(\Rightarrow\)16a⁴ - 40a² + 4= 4b² \(\Rightarrow\)( 4a² - 2b - 5 ) ( 4a² + 2b - 5 ) = 21

Mà 0 < 4a² - 2b - 5 < 4a² + 2b - 5 

\(\Rightarrow\)lập bảng làm .... kết luận x = 2

\(A=k^4-8k^3+23k^2-26k+10\)

\(=k^2\left(k^2-2k+1\right)-6k\left(k^2-2k+1\right)+10\left(k^2-2k+1\right)\)

\(=\left(k^2-6k+10\right)\left(k-1\right)^2\)

+ TH1 : \(\left(k-1\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A=0\\k=1\left(TM\right)\end{matrix}\right.\)

+ TH2 : \(\left(k-1\right)^2\ne0\)

=> A là số cp \(\Leftrightarrow k^2-6k+10\) là số cp

\(\Leftrightarrow k^2-6k+10=n^2\) ( \(n\in N\)* )

\(\Leftrightarrow\left(k-3\right)^2+1=n^2\)

\(\Leftrightarrow\left(n-k+3\right)\left(n+k-3\right)=1\)

Xét các TH rồi tìm đc \(k=3\)

4x³+8x²+6x²+12x-3x-6=0

=> 4x²(x+2)+6x(x+2)-3(x+2)=0

=> (4x²+6x-3)(x+2)=0

=> \(\left[{}\begin{matrix}4x^2+6x-3=0\\x+2=0\end{matrix}\right.\)

=> \(\left[{}\begin{matrix}\left(2x+\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{21}{4}\\x=-2\end{matrix}\right.\)

=> \(\left[{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\sqrt{21}-3}{4}\\x=\dfrac{-\sqrt{21}-3}{4}\end{matrix}\right.\\x=-2\end{matrix}\right.\)