1 phần thôi nhé

Nối BE, Gọi P là giao điểm của AD với BE.

Áp dụng định lí Ceva cho tam giác ABE => AH/HE=BP/PE=> HP//AB(1).

Từ (1)=> Tam giác AHP cân tại H=> AH=HP.(2)

Ta cần chứng minh AD//CE <=> DP//CE <=> BD/BC=BP/BE <=> BD/BC=1-(EP/BE).(3)

Mà EP/BE=HP/AB (do (1))=> EP/BE= AH/AB=HD/DB (do (2) và tc phân giác).  (4)

Khi đó (3)<=> BD/BC=1-(HD/DB) hay (BD/BC)+(HD/DB)=1 <=> BD^2+HD*BC=BC*DB

<=>  BD^2+HD*BC= (BD+DC)*BD <=> BD^2+HD*BC= BD^2+BD*DC <=> HD*BC=BD*DC  

<=> HD/DB=CD/BC <=> AH/AB=CD/BC. (5) 

    Chú ý: Ta cm được: CA=CD (biến đổi góc).

Nên (5) <=> AH/AB=CA/BC <=> Tg AHB đồng dạng Tg CAB.( luôn đúng)

=> DpCm. 

-Em ơi hình như đề bài sai rồi ấy ( C trùng với M).

a) Vì ∆ABC cân tại A có AH là đường cao nên AH cũng là đường trung tuyến

Suy ra BH=CH

Xét ∆AHB và ∆AHC có

AH là cạnh chung

BH=CH (cmt)

AB=AC (∆ABC cân tại A)

Do đó ∆AHB=∆AHC

Xét ∆AMH ta có

AD vuông góc với MH (HD vuông góc AB)

Suy ra AD là đường cao của ∆AMH (1)

DH=DM (gt)

Nên AD là đường trung bình của ∆AMH (2)

Từ (1) và (2) suy ra ∆AMH cân tại A

Suy ra AM=AH

a: Xét tứ giác AHMB có

I là trung điểm chung của MA và HB

=>AHMB là hình bình hành

=>BM=AH

AB+AH=AB+BM>AM

b: Xét ΔABC có

H là trung điểm của BC

HE//AB

=>E là trung điểm của AC

ΔAHC vuông tại H

mà HE là trung tuyến

nên EH=EC

=>ΔEHC cân tại E

a) Xét tam giác ABH và tam giác ACH

Có: Góc B = góc C (t/c tam giác cân)

Cạnh AH chung

AB = AC (t/c tam giác cân)

=> tam giác AHB = tam giác AHC

b) 

a: Ta có: ΔABC cân tại A

mà AH là đường cao ứng với cạnh đáy BC

nên H là trung điểm của CB

Xét ΔBDC có

H là trung điểm của BC

N là trung điểm của BD

Do đó: HN là đường trung bình của ΔBDC

Suy ra: HN//DC và \(HN=\dfrac{DC}{2}\)

b: Xét ΔANH có

M là trung điểm của AH

MD//NH

Do đó: D là trung điểm của AN

Suy ra: AD=DN

mà DN=NB

nên AD=DN=NB

Suy ra: \(AD=\dfrac{AD+DN+NB}{3}=\dfrac{AB}{3}\)

a,

\(\Delta ABC\) cân tại A có AH là đường cao nên đồng thời là trung trực

\(=>BH=HC\)

mà N là trung điểm BD\(=>BN=ND\)

=>\(HN\) là đường trung bình \(\Delta BCD\)\(=>HN//DC\)

b,từ ý a \(=>DM//HN\) mà M là trung điểm AH

=>AD=DN

mà DN=BN=>AD=DN=BN

mà AD+DN+BN=AB\(=>AD=\dfrac{1}{3}AB\)