CMR vời a>1,ta có x/căn bậc hai x-1>/2
Cho a>1,b>1.Tìm GTNN của biểu thức a2/b-1 cộng b2/a-1
a] CMR với x>1,ta có x/căn bậc hai của x-1>/2
b Cho a>1,b>1.Tìm GTNN của biểu thức a2/b-1 cộng b2/a-1
a, Chứng minh bất đẳng thức a2+b2+2 ≥ 2(a+b)
b,Cho hai số thực x,y thỏa mãn điều kiện: x^2+y^2 = 1. Tìm GTLN và GTNN của x+y
c, Cho a,b > 0 và a+b = 1. Tìm GTNN của S=\(\dfrac{1}{ab}\)+1/a2+b2
a)Có \(a^2+1\ge2a\) với mọi a; \(b^2+1\ge2b\) với mọi b
Cộng vế với vế \(\Rightarrow a^2+b^2+2\ge2\left(a+b\right)\)
Dấu = xảy ra <=> a=b=1
b) Áp dụng BĐT bunhiacopxki có:
\(\left(x+y\right)^2\le\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\le2\)
\(\Leftrightarrow-\sqrt{2}\le x+y\le\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)_{max}=\sqrt{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=\sqrt{2}\\x=y\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\left(x+y\right)_{min}=-\sqrt{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-\sqrt{2}\\x=y\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
c) \(S=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}=\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{2ab}\)
Với x,y>0, ta có: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) (1)
Thật vậy (1) \(\Leftrightarrow\dfrac{y+x}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (lđ)
Áp dụng (1) vào S ta được:
\(S\ge\dfrac{4}{a^2+b^2+2ab}+\dfrac{1}{2ab}\)
Lại có: \(ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\) \(\Leftrightarrow2ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\Leftrightarrow2ab\le\dfrac{1}{2}\)\(\Rightarrow\dfrac{1}{2ab}\ge2\)
\(\Rightarrow S\ge\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}+2=6\)
\(\Rightarrow S_{min}=6\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)
Rút gọn: M= (a2+b2+2)3-(a2+b2-2)3-12(a2+b2)2
Cho a + b =1. Hãy tính giá trị của biểu thức N= a3+b3+3ab
\(N=a^3+b^3+3ab\)
\(=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+3ab\)
=1
\(M=\left(a^2+b^2+2-a^2-b^2+2\right)\left[\left(a^2+b^2+2\right)^2+\left(a^2+b^2+2\right)\left(a^2+b^2-2\right)+\left(a^2+b^2-2\right)^2\right]-12\left(a^2+b^2\right)^2\\ M=4\left(a^4+b^4+4+4a^2+4b^2+2a^2b^2+\left(a^2+b^2\right)^2-4+a^4+b^4+4-4a^2-4b^2+2a^2b^2\right)-12\left(a^4+2a^2b^2+b^4\right)\\ M=4\left(3a^4+3b^4+4+6a^2b^2\right)-12\left(a^4+2a^2b^2+b^4\right)\\ M=4\left(3a^4+3b^4+4+6a^2b^2-3a^4-6a^2b^2-3b^4\right)\\ M=4\cdot4=164\)
1) So sánh A và B:
A = căn bậc hai của 225 - 1/căn bậc hai của 5 - 1
B = căn bậc hai của 196 - 1/căn bậc hai của 6
2) Tìm GTNN của A = 2 + căn bậc hai của x
3) Tìm GTNN của B = 5 - 2 . căn bậc hai của x - 1
Ai nhanh nhất mình tick nha! Làm ơn giải giùm nhaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa!
A = căn bậc hai của 225 - 1/căn bậc hai của 5 - 1
Tức là :
\(\sqrt{244}\)và \(\sqrt{4}\)
tất nhiên ........
B = căn bậc hai của 196 - 1/căn bậc hai của 6
Tất nhiên ......
2) Tìm GTNN của A = 2 + căn bậc hai của x
\(A=2+\sqrt{x}\)
= \(\sqrt{x+2}\)
3) Tìm GTNN của B = 5 - 2 . căn bậc hai của x - 1
\(B=5-2.\sqrt{x-1}\)
= \(4-2\sqrt{x}\)
Cho a>0, b>0 và a+b ≤1. Tìm GTNN của biểu thức A= a2+b2+\(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\)
\(A=a^2+\dfrac{1}{16a^2}+b^2+\dfrac{1}{16b^2}+\dfrac{15}{16}\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\right)\)
\(A\ge2\sqrt{\dfrac{a^2}{16a^2}}+2\sqrt{\dfrac{b^2}{16b^2}}+\dfrac{15}{32}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2\)
\(A\ge1+\dfrac{15}{32}\left(\dfrac{4}{a+b}\right)^2\ge1+\dfrac{15}{32}.4\)
a) Tìm x sao cho giá trị của biểu thức x 2 + 1 không lớn hơn giá trị của biểu thức
b) Cho hai số a, b > 0 và a + b = 1 . C h ứ n g m i n h : a 2 + b 2 ≥ 1 / 2
a) x2 + 1 ≤ (x - 2)2 ⇔ x2 + 1 ≤ x2 - 4x + 4 ⇔ 4x ≤ 3
⇔ x ≤ 3/4
Vậy: x ≤ 3/4
b) a, b > 0
Ta có: a + b = 1 suy ra: (a + b)2 = 1 ⇒ a2 + 2ab + b2 = 1 (1)
Mặt khác (a - b)2 ≥ 0 với mọi a, b ⇒ a2 - 2ab + b2 ≥ 0 (2)
Cộng (1) và (2) vế theo vế, ta được:
2a2 + 2b2 ≥ 1 ⇒ 2(a2 + b2) ≥ 1 ⇒ a2 + b2 ≥ 1/2
Cho biểu thức A= x-1 căn bậc hai x-1 + x+2 căn bậc hai x +1 phần căn bậc hai x+1 với a>0,x khác 1
a) rút gọn biểu thức A
B) tìm x để có giá trị bằng 6
Tìm GTNN của:
1) A= căn bậc hai của(x+1) + căn bậc hai của(y-2) biết x+y=4
2) B= (căn bậc hai của(x-1)/x) + (căn bậc hai của(y-2)/y)
3) x + căn bậc hai của(2-x)
Cho a,b > 0 và a2+b2=1. Tìm GTNN của biểu thức sau :
P = \(\left(2+a\right)\left(1+\dfrac{1}{b}\right)+\left(2+b\right)\left(1+\dfrac{1}{a}\right)\)
\(P=2+\dfrac{2}{b}+a+\dfrac{a}{b}+2+\dfrac{2}{a}+b+\dfrac{b}{a}=\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)+\left(a+\dfrac{1}{2a}\right)+\left(b+\dfrac{1}{2b}\right)+\left(\dfrac{3}{2a}+\dfrac{3}{2b}\right)+4\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}+2\sqrt{a.\dfrac{1}{2a}}+2\sqrt{b.\dfrac{1}{2b}}+2\sqrt{\dfrac{3}{2a}.\dfrac{3}{2b}}+4=6+2\sqrt{2}+\dfrac{3}{\sqrt{ab}}\)
Ta lại có: \(a^2+b^2\ge2\sqrt{a^2.b^2}=2ab\left(BĐT.Cauchy\right)\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge4ab\Rightarrow\sqrt{ab}\le\dfrac{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\Rightarrow P\ge6+2\sqrt{2}+\dfrac{3}{\sqrt{ab}}\ge6+2\sqrt{2}+\dfrac{3}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}=6+5\sqrt{2}\)
\(minP=6+5\sqrt{2}\Leftrightarrow a=b=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)