Câu hỏi của kudo shinichi - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Nguyễn Linh Chi cách đó em biết rồi ạ, nhưng em muốn tìm một cách khác, dạng như tìm k sao cho \(A\ge k\left(3x+4y\right)^2\)

#)Giải :

Thay \(x=\frac{10+4y}{3}\)vào A, ta có :

\(A=\left(\frac{10+4y}{3}\right)^2=\frac{100+80y+16y^2}{9}+y^2\)

\(A=\frac{100+80y+25y^2}{9}=\frac{\left(5y\right)^2+2.5y.8+8^2+36}{9}\)

\(A=\frac{\left(5y+8\right)^2}{9}+4\)

Ta có : \(\frac{\left(5y+8\right)^2}{9}\ge0\)với mọi y \(\Rightarrow A=\frac{\left(5y+8\right)^2}{9}+4\ge4\)

Vậy Min_(A) = 4

Dấu ''='' xảy ra khi y = - 8/5 và x = 6/5

Ta có :A = x² + 4y² - 4x + 32y + 2078 = (x² - 4x  + 4) + (4y² + 32y + 64) + 2010 = (x - 2)² + (2y + 8)² + 2010

Ta luôn có: (x - 2)² \(\ge\)0 \(\forall\)x

        (2y + 8)² \(\ge\)0 \(\forall\)y

=> (x - 2)² + (2y + 8)² + 2010 \(\ge\)2010

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x-1=0\\2y+8=0\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}x=1\\2y=-8\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=-4\end{cases}}\)

Vậy Min của A = 2010 tại x =  1 và y = -4

sửa đề B = 3x² + y² + 4x - y

Ta có B = \(3\left(x+\frac{2}{3}\right)^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{19}{12}\ge\frac{-19}{12}\)

Vậy GTNN của B là \(\frac{-19}{12}\)khi \(x=\frac{-2}{3};y=\frac{1}{2}\)

\(x^2+y^2-2x-4y-4=0\\ \Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2-9=0\\ \Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=9=0^2+3^2=0^2+\left(-3\right)^2\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x-1=0\\y-2=3\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x-1=3\\y-2=0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x-1=0\\y-2=-3\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x-1=-3\\y-2=0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=5\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=2\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow-2\le x\le4\left(y\in R\right)\)

Ta có \(S=3x+4y\)

Mà \(x\ge-2;y\ge-1\Leftrightarrow S\ge3\cdot\left(-2\right)+4\cdot\left(-1\right)=-6-4=-10\)

Vậy GTNN của S là \(-10\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=-1\end{matrix}\right.\)

Lời giải:

ĐKĐB $\Leftrightarrow (x^2-2x+1)+(y^2-4y+4)-9=0$

$\Leftrightarrow (x-1)^2+(y-2)^2-9=0$

$\Rightarrow (x-1)^2=9-(y-2)^2\leq 9$

$\Rightarrow -3\leq x-1\leq 3$

$\Leftrightarrow -2\leq x\leq 4$

-------------

Đặt $x-1=a; y-2=b$ thì bài toán trở thành:
Cho $a,b$ thực thỏa mãn $a^2+b^2=9$

Tìm min $S=3a+4b+11$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(3a+4b)^2\leq (a^2+b^2)(3^2+4^2)=9.25$

$\Rightarrow -15\leq 3a+4b\leq 15$

$\Rightarrow 3a+4b\geq -15$

$\Rightarrow S=3a+4b+11\geq -4$

Vậy $S_{\min}=-4$ khi $x=\frac{-4}{5}; y=\frac{-1}{5}$

\(A=3x^2+5x-2\)

\(A=3\left(x^2+\frac{5}{3}x-\frac{2}{3}\right)\)

\(A=3\left(x^2+2.\frac{5}{6}x+\left(\frac{5}{6}\right)^2-\frac{49}{36}\right)\)

\(A=3\left(x^2+2.\frac{5}{6}x+\left(\frac{5}{6}\right)^2\right)-\frac{49}{12}\)

\(A=3\left(x+\frac{5}{6}\right)^2-\frac{49}{12}\)

         Vì \(3\left(x+\frac{5}{6}\right)^2\ge0\)

                  Do đó \(3\left(x+\frac{5}{6}\right)^2-\frac{49}{12}\ge-\frac{49}{12}\)

Dấu = xảy ra khi \(x+\frac{5}{6}=0\Rightarrow x=-\frac{5}{6}\)

      Vậy Min A=\(-\frac{49}{12}\) khi x=\(-\frac{5}{6}\)

mk làm ý a thôi, mấy ý sau dựa vào mà làm.

      A = \(3x^2+5x-2\)

 => \(\frac{A}{3}=x^2+\frac{5}{3}x-\frac{2}{3}\)(chia cả 2 vế cho 3)

\(\Leftrightarrow\frac{A}{3}=x^2+2.x.\frac{5}{6}+\left(\frac{5}{6}\right)^2-\frac{49}{36}\)

\(\Leftrightarrow\frac{A}{3}=\left(x+\frac{5}{6}\right)^2-\frac{49}{36}\)

\(\Rightarrow A=3\left(x+\frac{5}{6}\right)^2-\frac{49}{12}\ge-\frac{49}{12}\)

Đẳng thức xảy ra <=> x = - 5/6.

Vậy Min A = - 49/12 khi và chỉ khi x = - 5/6.