a) Ta có: \(MI=IN=\dfrac{MN}{2}\)(I là trung điểm của MN)

\(QK=KP=\dfrac{QP}{2}\)(K là trung điểm của QP)

mà MN=QP(Hai cạnh đối trong hình bình hành MNPQ)

nên MI=IN=QK=KP

Ta có: \(MN=2\cdot MQ\)(gt)

mà \(MN=2\cdot MI\)(I là trung điểm của MN)

nên MQ=MI

Xét tứ giác MIKQ có 

MI//QK(MN//QP,I\(\in\)MN, \(K\in QP\))

MI=QK(cmt)

Do đó: MIKQ là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Hình bình hành MIKQ có MI=MQ(cmt)

nên MIKQ là hình thoi(Dấu hiệu nhận biết hình thoi)

b) Ta có: \(\widehat{QMN}+\widehat{AMN}=180^0\)(hai góc kề bù)

\(\Leftrightarrow\widehat{AMN}=180^0-\widehat{QMN}=180^0-120^0\)

hay \(\widehat{AMI}=60^0\)

Ta có: MI=MQ(cmt)

mà AM=MQ(M là trung điểm của AQ)

nên AM=MI

Xét ΔMAI có AM=MI(cmt)

nên ΔMAI cân tại M(Định nghĩa tam giác cân)

Xét ΔMAI cân tại M có \(\widehat{AMI}=60^0\)(cmt)

nên ΔMAI đều(Dấu hiệu nhận biết tam giác đều)

c) Ta có: AI=AM(ΔAMI đều)

mà \(AM=MQ\)(M là trung điểm của AQ)

nên AI=MQ

mà \(MQ=\dfrac{MN}{2}\)(gt)

nên \(AI=\dfrac{MN}{2}\)

Xét ΔAMN có 

AI là đường trung tuyến ứng với cạnh MN(I là trung điểm của MN)

\(AI=\dfrac{MN}{2}\)(cmt)

Do đó: ΔAMN vuông tại A(Định lí 2 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

hay \(\widehat{NAM}=90^0\)

Ta có: AM=MQ(M là trung điểm của AQ)

mà MQ=NP(Hai cạnh đối trong hình bình hành MNPQ)

nên AM=NP

Xét tứ giác AMPN có 

AM//NP(MQ//NP, A\(\in\)MQ)

AM=NP(cmt)

Do đó: AMPN là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Hình bình hành AMPN có \(\widehat{NAM}=90^0\)(cmt)

nên AMPN là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

a)MIKQ hình gì?

Ta có MI//QK (MN//PQ)

MI=QK (1/2PQ)

⇒MIKQ là HBH

Có MQ=MI (gt)

Vậy MIKQ là hình thoi

b) C/M ΔAMI là tam giác đều

Ta có ∠QMI+∠AMI=180^o (Q,M,A thẳng hàng)

Hay 120^o+∠AMI=180^o

⇒∠AMI=60^o

Mà ΔAMI cân tại M (MA=MI)

Vậy ΔAMI đều

a, Ta cs : \(\hept{\begin{cases}MI//QK\\MI=QK\end{cases}}\)

=> Tứ giác MIKQ là hình bình hành 

Ta lại cs : MI = MQ 

=> Tứ giác MIKQ là hình thoi 

MN//PQ (cạnh đối hbh) => MI//KQ

Ta có

\(MI=\dfrac{MN}{2};KQ=\dfrac{PQ}{2}\) Mà MN=PQ (cạnh đối hbh) => MI=KQ

=> MIKQ là hbh (Tứ giác có 1 cặp cạnh đối // và = nhau là hbh)

b/

Ta có

MA=MQ (gt) (1)

\(MN=2MQ\left(gt\right)\Rightarrow MQ=\dfrac{MN}{2}\) (2)

Ta có

\(MI=\dfrac{MN}{2}\) (3)

Từ (1) (2) (3) \(\Rightarrow MA=MI=\dfrac{MN}{2}\) => tg AMI cân tại M

Ta có

\(\widehat{AMI}=\widehat{AMP}-\widehat{M}=180^o-120^o=60^o\)

Xét tg AMI có

\(\widehat{MAI}+\widehat{MIA}+\widehat{AMI}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{MAI}+\widehat{MIA}=180^o-\widehat{AMI}=180^o-60^o=120^o\)

Mà \(\widehat{MAI}=\widehat{MIA}\) (góc ở đáy tg cân)

\(\Rightarrow\widehat{MAI}=\widehat{MIA}=\dfrac{120^o}{2}=60^o\)

\(\Rightarrow\widehat{MAI}=\widehat{MIA}=\widehat{AMI}=60^o\Rightarrow\Delta AMI\) là tg đều

c/

Xét hbh MNPQ có

MQ//NP => MA//NP

MA=MQ (gt); MQ=NP (cạnh đối hbh)

=> MA=NP

=> APMN là hình bình hành (Tứ giác có 1 cặp cạnh đối // và = nhau là hbh)

Ta có

\(MI=AI=\dfrac{MN}{2}\)  (cạnh tg đều)

\(NI=\dfrac{MN}{2}\)

\(\Rightarrow AI=NI=\dfrac{MN}{2}\) => tg AIN cân tại I

Ta có \(\widehat{AIN}=\widehat{MIN}-\widehat{AIM}=180^o-60^o=120^o\)

Xét tg cân AIN có

\(\widehat{AIN}+\widehat{IAN}+\widehat{INA}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{IAN}+\widehat{INA}=180^o-\widehat{AIN}=180^o-120^o=60^o\)

Mà \(\widehat{IAN}=\widehat{INA}\) (góc ở đáy tg cân)

\(\Rightarrow\widehat{IAN}=\widehat{INA}=\dfrac{60^o}{2}=30^o\)

Xét tg AMN có

\(\widehat{MAN}+\widehat{AMI}+\widehat{INA}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{MAN}=180^o-\widehat{AMI}-\widehat{INA}=180^o-60^o-30^o=90^o\)

=> APMN là hình chữ nhật (hình bình hành có 1 góc vuông là HCN