\(\left\{{}\begin{matrix}x+my=9\\mx-3y=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=9-my\\m\left(9-my\right)-3y=4\end{matrix}\right.\)(*)

(*) <=> \(9m-m^2y-3y=4\)

<=> \(-y\left(m^2+3\right)=4-9m\) 

Vì \(m^2+3\ge3\) >0 với mọi m

=> m² + 3 khác 0

=> luôn có nghiệm y = \(\dfrac{9m-4}{m^2+3}\) với mọi m

b) Khi đó x= \(9-m.\dfrac{9m-4}{m^2+3}=\dfrac{9m^2+27-9m^2+4m}{m^2+3}=\dfrac{4m^2+27}{m^2+3}\)

Để \(x-3y=\dfrac{28}{m^2+3}-3\)

=> \(4m+27-27m+12=28-3m^2+9\)

<=> \(3m^2-3m-20m+20=0\)

<=> \(3m\left(m-1\right)-20\left(m-1\right)=0\) 

<=> \(\left(3m-20\right)\left(m-1\right)=0\)

<=> \(\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{20}{3}\\m=1\end{matrix}\right.\) 

1.Để  đường thẳng  \(y=\left(m-1\right)x+3\) song song với đường thẳng \(y=2x+1\)

thì \(m-1=2\Rightarrow m=3\)

2. a. Với \(m=-2\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}-2x-2y=3\\3x-2y=4\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{5}\\y=-\frac{17}{10}\end{cases}}\)

b. Với \(m=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}-2y=3\\3x=4\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=-\frac{3}{2}\\x=\frac{4}{3}\end{cases}\left(l\right)}}\)

Với \(m\ne0\Rightarrow\hept{\begin{cases}m^2x-2my=3m\\6x+2my=8\end{cases}\Rightarrow\left(m^2+6\right)x=3m+8}\)

\(\Rightarrow x=\frac{3m+8}{m^2+6}\)\(\Rightarrow y=\frac{mx-3}{2}=\frac{m\left(3m+8\right)-3\left(m^2+6\right)}{2\left(m^2+6\right)}=\frac{4m-9}{m^2+6}\)

Để \(x+y=5\Rightarrow\frac{3m+8}{m^2+6}+\frac{4m-9}{m^2+6}=5\Rightarrow7m-1=5m^2+30\)

\(\Rightarrow-5m^2+7m-31=0\)

Ta thấy phương trình vô nghiệm nên không tồn tại m để \(x+y=5\)

Thay m=2 vào HPT ta có: 

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(2-1\right)x-2y=6-1\\2x-y=2+5\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}x-2y=5\\2x-y=7\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}2x-4y=10\\2x-y=7\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}2x-4y=10\\-3y=3\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy HPT có nghiemj (x;y) = (3;-11)

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-1\right)x-my=3m-1\left(1\right)\\2x-y=m+5\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

a) Từ (2) => y=2x-m-5, thay vào (1) ta có:

\(\left(m-1\right)x-m\left(2x-m-5\right)=3m-1\)

=>\(\left(m-1\right)x-2mx+m^2=5m-3m+1=0\)

=> \(\left(m-1-2m\right)x+m^2+2m+1=0\)

<=> \(\left(-m-1\right)x+\left(m+1\right)^2=0\)

<=> \(\left(m+1\right)x=\left(m+1\right)^2\) (*)

+Nếu m=-1 => pt (*) tương đương:

0x=0 => pt (*) vô số nghiệm x => y = 2x+1-5 = 2x-4

=> hệ pt có vô số nghiệm (x;2x-4)

+ Nếu m\(\ne\)1 => pt(*) có nghiệm duy nhất x=\(\dfrac{\left(m+1\right)^2}{m+1}=m+1\)

=> y=2.(m+1)-m-5 = 2m+2-m-5=m-3

=> hpt có nghiệm duy nhất (x;y) =(m+1;m-3)

Vậy với m=-1, hệ pt có vô số nghiệm (x;2x-4)

Với m\(\ne\)-1 hệ pt có nghiệm duy nhất (x;y)=(m+1;m-3)

b) Để 2 đường thẳng của hệ cắt nhau tại 1 điểm nằm trong góc phần tư thức IV của hệ tọa độ Oxy thì hệ pt có nghiệm duy nhất x>0, y<0

=> \(\left\{{}\begin{matrix}m+1>0\\m-3< 0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-1\\m< 3\end{matrix}\right.\)

Mà m\(\in\)Z => m\(\in\){0;1;2}

c) Với m≠ -1 thì hệ có nghiệm duy nhất (x;y) = (m+1;m-3)

P=\(x^2+y^2=\left(m+1\right)^2+\left(m-3\right)^2\)

P=\(m^2+2m+1+m^1-6m+9\)

\(P=2m^2-4m+10=2\left(m^2-2m+5\right)=2\left(m^2-2m+1\right)+8=2\left(m-1\right)^2+8\)

Vì (m-1)² \(\ge\)0 với mọi m ≠-1

=> \(2\left(m-1\right)^2\ge0\)<=> \(2\left(m-1\right)^2+8\ge8\)

=> P\(\ge\) 8

=> P đạt giá trị nhỏ nhất =8 khi m-1=0 <=> m=1

a) Thay 1 vào m, ta có:

\(\hept{\begin{cases}x+1y=1+1\\1x-y=3\times1-1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+1y=2\\x=2+y\end{cases}}\)

Thế giá trị đã cho vào phương trình:\(2+y+1y=2\)

\(\Leftrightarrow2+2y=2\)

\(\Leftrightarrow2y=0\Rightarrow y=0\)

Thay giá trị đó vào phương trình:\(x=2+0\Rightarrow x=2\)

\(2)mx^2-2\left(m-1\right)x+m-1=0\)

Để pt có nghiệm kép \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a\ne0\\\Delta=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\\left[-2\left(m-1\right)\right]^2-4m\left(m-1\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow4\left(m^2-2m+1\right)-4m^2+4m=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-8m+4-4m^2+4m=0\)

\(\Leftrightarrow-4m+4=0\)

\(\Leftrightarrow m=1\)

Vậy để pt trên có nghiệm kép thì \(\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\m=1\end{matrix}\right.\)